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	www.matheraum.de Algebra 1 Aufgabenblatt 1 Abgabe: Sa 10.03.2012 13:00	03.03.2012
Die Aufgabenstellungen erfolgen im Bezug auf das Buch "Algebra" von Karpfinger; gestellt werden Sie von Blackwolf1990 und bis sich ein hilfsbereiter Kursleiter findet wird die Korrektur von Interessenten erbeten.
Das Thema dieses Aufgabenzettels ist das Kapitel 1: Halbgruppen.
Aufgabe 1
I-1: Untersuchen Sie die folgenden inneren Verknüpfungen $\IN$ x $\IN$ -> $\IN$ auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz von neutralen Elementen: a) (m,n) $\mapsto m^{n}$ b) (m,n) $\mapsto$ kgV(m,n) Untersuchen Sie, wie viele verschiedene innere Verknüpfungen es auf eine Menge mit 3 Elementen gibt.
Aufgabe 2
I-2: Mit welcher der folgenden inneren Verknüpfungen $\circ$ : $\IZ$ x $\IZ$ -> $\IZ$ ist $(\IZ,\circ)$ eine Halbgruppe? a) x $\circ$ y = x b) x $\circ$ y = 0 c) x $\circ$ y = x - y - xy
Aufgabe 3
I-3: Begründen Sie das allgemeine Assoziativgesetz: Die Produke von n $\ge$ 3 Elementen $a_{1},$ ... , $a_{n}$ einer Halbgruppe hängen nicht von der Wahl der Klammerung ab.
Aufgabe 4
I-4: Es seien die Abbildungen $f_{1},...,f_{6}: \IR\setminus$ {0,1} -> $\IR\setminus$ {0,1} definiert durch: $f_{1}=x$ , $f_{2}=\bruch{1}{1-x}$ , $f_{3}=\bruch{x-1}{x}$ , $f_{4}=\bruch{1}{x}$ , $f_{5}=\bruch{x}{x-1}$ , $f_{6}=1$ - x . Zeigen Sie, dass die Menge F aller dieser Funktionen mit der Verknüpfung $\circ$ : $(f_{i},f_{j}) \mapsto f_{i} \circ f_{j}$ eine Halgruppe mit neutralem Element ist, wobei $f_{i} \circ f_{j}$ (x) = $f_{i}(f_{j}(x))$ ist. Welche Elemente aus F sind invertierbar?