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Algebra 1
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Sa 10.03.2012 13:00		03.03.2012
Die Aufgabenstellungen erfolgen im Bezug auf das Buch "Algebra" von Karpfinger; gestellt werden Sie von Blackwolf1990 und bis sich ein hilfsbereiter Kursleiter findet wird die Korrektur von Interessenten erbeten.
Das Thema dieses Aufgabenzettels ist das Kapitel 1: Halbgruppen.
Aufgabe 1
I-1: Untersuchen Sie die folgenden inneren Verknüpfungen $ \IN $ x $ \IN $ -> $ \IN $ auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz von neutralen Elementen:
a) (m,n) $ \mapsto m^{n} $
b) (m,n) $ \mapsto $ kgV(m,n)

Untersuchen Sie, wie viele verschiedene innere Verknüpfungen es auf eine Menge mit 3 Elementen gibt.
Aufgabe 2
I-2: Mit welcher der folgenden inneren Verknüpfungen $ \circ $ : $ \IZ $ x $ \IZ $ -> $ \IZ $ ist $ (\IZ,\circ) $ eine Halbgruppe?
a) x $ \circ $ y = x
b) x $ \circ $ y = 0
c) x $ \circ $ y = x - y - xy
Aufgabe 3
I-3: Begründen Sie das allgemeine Assoziativgesetz: Die Produke von n $ \ge $ 3 Elementen $ a_{1}, $ ... , $ a_{n} $ einer Halbgruppe hängen nicht von der Wahl der Klammerung ab.
Aufgabe 4
I-4: Es seien die Abbildungen $ f_{1},...,f_{6}: \IR\setminus $ {0,1} ->  $ \IR\setminus $ {0,1} definiert durch:

$ f_{1}=x $ ,                              
$ f_{2}=\bruch{1}{1-x} $ ,              
$ f_{3}=\bruch{x-1}{x} $ ,
$ f_{4}=\bruch{1}{x} $   ,
$ f_{5}=\bruch{x}{x-1} $  ,
$ f_{6}=1 $ - x    .

Zeigen Sie, dass die Menge F aller dieser Funktionen mit der Verknüpfung $ \circ $ : $ (f_{i},f_{j}) \mapsto f_{i} \circ f_{j} $ eine Halgruppe mit neutralem Element ist, wobei $ f_{i} \circ f_{j} $ (x) = $ f_{i}(f_{j}(x)) $ ist. Welche Elemente aus F sind invertierbar?
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