Ausmultiplizieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Fr 24.06.2005 | | Autor: | UguBugu |
Servus Leute,
'hab nächsten Dienstag ein Matheexamen und brauch Eure Hilfe für ein wahrscheinlich peinlich einfaches Problem:
[mm] -3y^2-2x+3y+xy=0 [/mm] Korrektur: [mm] -3y^2-2x+6y+xy=0 [/mm]
Lässt sich umformen zu:
$ (y-2)(x-3y)=0 $
Aber wie kommt man genau darauf? Gibt es einen einfachen Trick um eine Summe als Produkt zu schreiben?
Ausserdem muss ich auch folgende Gleichung lösen:
[mm] x^2*y'^2-y^2=y*{y'{^2}}+x*y'^3
[/mm]
Wahrscheinlich geht es am einfachsten, wenn ich die Gleichung als Summe zweier Produkte beschreibe, nur wie?
Wenn wir $ z := y' $ setzen, erhalten wir:
[mm] z^3+z^2(\bruch{y}{x}-x)+\bruch{y^2}{x}=0
[/mm]
Mit $ a := [mm] (\bruch{y}{x}-x) [/mm] $ und $ b := [mm] \bruch{y^2}{x} [/mm] $ lässt sich die Gleichung ausdrücken als:
[mm] z^3+az^2+b=0
[/mm]
Wenn sich das nicht als Produkt ausdrücken lässt, welchen Ansatz würdet ihr mir dann empfehlen?
Mfg,
UguBugu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> [mm]-3y^2-2x+3y+xy=0[/mm]
>
> Lässt sich umformen zu:
>
> [mm](y-2)(x-3y)=0[/mm]
Da stimmt was nicht
[mm](y-2)(x-3y) = -3y^2 - 2x + [/mm] 6 [mm] y + x*y \, [/mm]
wie kommt man darauf?
1.) Nun du suchst Nullstellen. Durch genaueres Hinsehen konnte man erkennen, dass es eine Nullstelle geben koennte, die von x unabhaengig ist, naemlich (y=2). Durch Abspalten dieser Loesung (Polynomdivision [mm](-3y^2-2x+6y+xy):(y-2)[/mm] ) erhalt man dann [mm](x-3y)[/mm].
Oder andere Moeglichkeit:
2.) durch umformen (z.B.: Therm ohne x, Therm mit x) sieht man das sehr schnell:
[mm] (-3y^2+6y) + (-2x+xy) =\, [/mm]
herausheben
[mm] = 3*y(-y+2) + x(-2 +y) =\, [/mm]
[mm] = 3*y(-y+2) - x(2 -y) =\, [/mm]
jetzt sieht man ja einen gemensamen Faktor, herausheben:
[mm] = (2-y)*(3*y-x) \,[/mm]
[mm] = (y-2)*(x-3*y) \,[/mm]
lG
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Sa 25.06.2005 | | Autor: | UguBugu |
Danke soweit Dreieck,
In meiner Angabe habe ich tatsächlich einen Fehler gemacht, aber Du hast sie trotzdem richtig verstanden.
Nun habe ich ein weiteres Problem:
[mm] x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)
[/mm]
Wie kann man so was sehen, wenn man nicht gerade ein absolutes Genie ist? Mit Nullstellen und Ausklammern kann man da ja nicht arbeiten...
Was sind so die Grundprinzipien und -regeln des Ausfaktorisierens (oder Ausmultiplizierens, 'weiß nicht welcher der beiden Begriffe der korrekte ist)?
Mfg,
UguBugu
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Hallo.
[mm]x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)[/mm]
Es ist eigentlich gar nicht schwer:
[mm] x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2 [/mm] (bis hierher hat sich überhaupt nichts verändert, wir haben nur irgendwelche Terme dazuergänzt und gleichzeitig wieder abgezogen)
Jetzt wenden wir die 1. binomische Formel auf die ersten 3 Terme an:
[mm] =(x^2+2)^2-4x^2, [/mm] und das sieht ja schon sehr verdächtig nach 3. binomischer Formel aus:
[mm] =(x^2+2-2x)(x^2+2+2x),
[/mm]
und das ist genau das, was Du haben wolltest, nicht?
Gruß,
Christian
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Hallo Simon,
> [mm]x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)[/mm]
In diesem Falle können wir diese Zerlegung direkt herleiten. Dazu benötigen wir aber die komplexen Zahlen:
[m]x^4 + 4 = \left( {x^2 } \right)^2 - \left( { - 4} \right)\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{dieser Schritt}} \\
{\text{führt geradewegs zu}} \\
{\text{den komplexen Zahlen!}}
\end{subarray}} \left( {x^2 } \right)^2 - k^{\red{2}}[/m]
[m]\begin{gathered}
\left( {x^2 } \right)^2 - k^2 = \left( {x^2 - k} \right)\left( {x^2 + k} \right) = \left( {x + \sqrt k } \right)\left( {x - \sqrt k } \right)\left( {x^2 - \left( { - k} \right)} \right) \hfill \\
= \left( {x + \sqrt k } \right)\left( {x - \sqrt k } \right)\left( {x - i\sqrt k } \right)\left( {x + i\sqrt k } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit haben wir dein Polynom in seine komplexen "Einzelteile" (Nullstellen) zerlegt. Jetzt müssen wir nur noch zwei Gleichungen lösen:
[m]k^2 = - 4 \Rightarrow k = 2i[/m]
(Eigentlich wären dies zwei Lösungen (-2i); Das ändert hier aber nichts an der endgültigen Lösung, wie ich festgestellt habe.)
und
[m]\sqrt k = \sqrt {2i} = ?[/m]
Es gilt:
[m]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{{a + bi}} = \sqrt[n]{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + \xi 2\pi }}
{n} + i\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + \xi 2\pi }}
{n}} \right)[/m]
Es gilt $2i = [mm] \left(0, 2\right) \in \IC$. [/mm] Und damit: [mm] $\sqrt[2]{{\sqrt {0^2 + 2^2 } }} [/mm] = [mm] \sqrt [/mm] 2$
Damit vereinfacht sich die Formel:
[m]\sqrt {2i} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{2}
{0}} \right) + \xi 2\pi }}
{2} + i\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{2}
{0}} \right) + \xi 2\pi }}
{2}} \right)[/m]
Wir wissen für welchen Winkel der Tangens keine Lösung besitzt, weil der Kosinus im Nenner eine 0 liefert. Das ist gerade für [mm] $\tfrac{\pi}{2}$ [/mm] der Fall:
[m]\begin{gathered}
\sqrt {2i} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{\frac{\pi }
{2} + \xi 2\pi }}
{2} + i\sin \frac{{\frac{\pi }
{2} + \xi 2\pi }}
{2}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }
{4} + i\sin \frac{\pi }
{4}} \right) \hfill \\
= \sqrt 2 \left( {\frac{1}
{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}
{{\sqrt 2 }}} \right) = 1 + i \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und damit:
[m]\begin{gathered}
\left( {x + \sqrt k } \right)\left( {x - \sqrt k } \right)\left( {x - i\sqrt k } \right)\left( {x + i\sqrt k } \right) \hfill \\
= \left( {x + 1 + i} \right)\left( {x - 1 - i} \right)\left( {x - i\left( {1 + i} \right)} \right)\left( {x + i\left( {1 + i} \right)} \right) \hfill \\
= \left( {x + 1 + i} \right)\left( {x - 1 - i} \right)\left( {x - i - i^2 } \right)\left( {x + i + i^2 } \right) \hfill \\
= \left( {x + 1 + i} \right)\left( {x - 1 - i} \right)\left( {x - i + 1} \right)\left( {x + i - 1} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
An dieser Stelle gibt es nur noch eine Anordnung der Faktoren, wo etwas Reelles rauskommen könnte, da die Anordnung, die die komplexen Faktoren jetzt haben, gerade durch unsere Faktorisierung entstanden ist:
[m]\red{\left( {x + 1 + i} \right)}\blue{\left( {x - 1 - i} \right)}\red{\left( {x - i + 1} \right)}\blue{\left( {x + i - 1} \right)}[/m]
Wir können die Faktoren also nur auf folgende Weise anders anordnen, um nicht die gleichen komplexen Faktoren wie vor der Zerlegung zu erhalten:
[m]\begin{gathered}
\red{\left( {x + 1 + i} \right)}\red{\left( {x - i + 1} \right)}\blue{\left( {x - 1 - i} \right)}\blue{\left( {x + i - 1} \right)} \hfill \\
= \left( {x^2 - ix + x + x - i + 1 + ix - i^2 + i} \right)\left( {x^2 + ix - x - x - i + 1 - ix - i^2 + i} \right) \hfill \\
= \left( {x^2 + 2x + 1 - i^2 } \right)\left( {x^2 - 2x + 1 - i^2 } \right) = \left( {x^2 + 2x + 2} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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Da in einer neueren Diskussion auf obigen Artikel
verwiesen worden ist, möchte ich hier auf jene
Diskussion verweisen: Wurzeln im Komplexen
Es geht dabei insbesondere darum, dass Wurzeln
wie etwa [mm] \sqrt{2\,i} [/mm] gar nicht eindeutig definiert sind
(bzw. gar nicht definiert werden können, ohne in
Konflikte mit den üblichen Rechenregeln für Wur-
zeln zu kommen).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Sa 25.06.2005 | | Autor: | UguBugu |
Wow,
Ich weiß gar nicht, wie ich mich bei euch für eure ausführliche Antworten bedanken soll.
Der Weg ist ja reichlich komplex (im wahrsten Sinne des Wortes :P), aber verständlich.
Also danke Karl Pech und Christian!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi Simon!
> [m]\sqrt k = \sqrt {2i} = ?[/m]
>
>
> [m]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{{a + bi}} = \sqrt[n]{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
> {a}} \right) + \xi 2\pi }}
> {n} + i\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
> {a}} \right) + \xi 2\pi }}
> {n}} \right)[/m]
das ist richtig, aber um dir nicht unbedingt diese Formel auswendig merken zu muessen,
kannst du es dir aber auch "einfacher" umformen um [mm]\sqrt {2i}[/mm] auszurechnen:
[mm]\sqrt {k} = \sqrt {2i} = \sqrt {2} * \sqrt {i} [/mm]
jetzt koennte man durch Vorwissen einfach
[mm]\sqrt {i} = \pm (\frac{\sqrt{2}}{2} + i * \frac{\sqrt{2}}{2}) [/mm]
einsetzen und erhaelt
[mm]\sqrt {k} = \sqrt {2} * (\frac{\sqrt{2}}{2} + i * \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + i[/mm]
fertig.
(die zweite Loseung hab ich bewusst nicht verwendet, weil sie [mm]-\sqrt k[/mm] entspricht, welches ja ebenfalls in den Faktoren vorkommt, und eine Fallunterscheidung wieder zur selben Loseung kommen wuerde. Trotzdem solltest du immer daran denken, dass die Quadratwurzel von komplexen Zahlen immer 2 Ergebnisse (Ausnahme: 0+0i) liefert)
oder:
du formst [mm]\sqrt {2i}[/mm] einfach in die Polarkoordinatendarstellung mit Radius und Winkel um, und nachher wieder zurueck. Umstaendlich? Nicht ganz, das Wurzelziehen (das Potenzieren generell) von komplexen Zahlen ist viel einfacher mit Hilfe von Polarkoordinaten (die Formel von Karl macht uebrigens genau das gleiche: sie formt von der [mm]a + i*b\,[/mm] Darstellung in die [mm] (r,\alpha) [/mm] Darstellung um, nuetzt dann die Potenzregel der komplexen Zahlen, und formt sie wieder zurueck in die Form [mm]a + i*b\,[/mm])
also:
[mm]\sqrt {2i} \mapsto (2,\frac{\pi}{2}) [/mm]
jetzt Wurzelziehen ("neue" Vektorlaenge=Wurzel der "alten" Laenge, "neuer" Winkel ist der halbe "alte" - zur 2. Loesung muesste man dann noch in diesem Fall der Quadrtwurzel [mm] \pi [/mm] zum "neuen" Winkel dazuaddieren)
[mm]\sqrt {(2,\frac{\pi}{2})} = (\sqrt {2},\frac{\pi}{4}) [/mm]
wieder umformen in die "gewohnte Darstellung":
[mm] (\sqrt {2},\frac{\pi}{4}) \mapsto \sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2} + i * \sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + i[/mm]
fertig.
lG
Peter
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