Negativer Radikant? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag,
heute kam die Frage auf, warum man nicht die dritte Wurzel aus -27 ziehen kann.
Bei dieser Frage gab der Lehrer mir leider keine ausreichende Antwort un dich würde gerne wissen, warum das so ist.
dritte wurzel aus -27 ist ja -3, wenn es nicht verboten wäre, aus negativen Zahlen die Wurzel zu ziehen.
Wie gesagt, warum ist das so? Oder geht das über den Horizont eines Schülers der 10ten Klasse ;)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Di 24.01.2006 | | Autor: | ziko |
Hallo Lutschbonbon!
Aus -27 kann man die dritte Wurzel ziehen! Die Lösung ist, wie Du schon geschrieben hast -3.
Evt. hat dein Lehrer dich missverstanden und deine Frage auf Quadratwurzeln bezogen. Die 10. Klasse ist zwar bei mir schon einige Tage her, aber ich meine, dass wir damals schon aus negativen Zahlen die Kubikwurzeln gezogen haben.
Gruß, ZIko
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Aber ich habe gelernt und wird sogar auf dieser Seite mir bestätigt http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29 , dass es "verboten" ist, die wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen.
Als ich meinen Lehrer nach einem mathematischen Beweis fragte, meinte er, dass ich den bekommen würde, aber erst später. Entweder traut er unserer Klasse es nicht zu, dass wir es verstehen, oder er weiß es selbst nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 24.01.2006 | | Autor: | Linea-r |
Hey Lutschbonbon!
Das ist richtig, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen darf. Aber hier geht es um die dritte Wurzel aus -27 und das ist -3. denn -3 mal -3 mal -3 = 27
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 24.01.2006 | | Autor: | ziko |
Hallo Lutsch-Bonbon!
In dem von dir angegebenen Artikel steckt der Druckfehlerteufel:
Bei der undefinierten Wurzel aus -8 muss es sich um eine Quadratwurzel handeln!
Im nächsten Satz wird nämlich dann auch gesagt, dass wenn die Wurzel "ungerade" ist (sprich 3. , 5. , 7. usw -Wurzel), man auch aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann. Die Aussage, dass eine Wurzel für eine negative Zahl nicht definiert ist, bezieht sich nur auf "gerade" Wurzeln.
Gruss, Ziko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 24.01.2006 | | Autor: | ziko |
Upps!
Wer lesen kann, ist klar im Vorteil! 
In dem Artikel wird gesagt, dass es 2 verschiedene Positionen bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen gibt. Hatte den Satz drüber leider überlesen, der dies besagt. (Und die Tatsache ist mir ehrlich gesagt auch neu!)
Probier doch einfach mal mit deinem Taschenrechner die Quadratwurzel aus -8 und dann die dritte Wurzel aus -8 zu ziehen.
Gruss, Ziko
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Hi, Lutschbonbon,
die Sache hat was mit der Schreibweise von Wurzeln als Potenzen zu tun.
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] (für a [mm] \ge [/mm] 0)
Nun zu Deinem Beispiel:
Nimm an, wir lassen zu, dass [mm] \wurzel[3]{-27} [/mm] = -3 ist. (***)
Dann rechnen wir das ganze in die Potenzschreibweise um:
[mm] (-27)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Nun ist nach den Gesetzen des Bruchrechnens sicher richtig, dass
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{6} [/mm] ist, stimmt's?!
Also: [mm] (-27)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] (-27)^{\bruch{2}{6}}
[/mm]
= [mm] ((-27)^{2})^{\bruch{1}{6}} [/mm] = [mm] (729)^{\bruch{1}{6}} [/mm] = +3,
was ein WIDERSPRUCH zum Ergebnis aus (***) wäre.
Demnach muss man irgendwo eine Einschränkung machen:
Entweder, man lässt auch bei Wurzeln mit ungeraden Exponenten nur Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 zu (was die meisten Autoren von Schulbüchern tun),
oder man schränkt die Definitionsmenge dann ein, wenn's um die Gleichheit von Wurzeln und entsprechenden Potenzen geht!
Aufpassen muss man in jedem Fall!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Uneinheitlichkeit rührt daher, ob man nun
$x [mm] \mapsto \sqrt[3]{x}$
[/mm]
als Umkehrfunktion der bijektiven Funktion $x [mm] \mapsto x^3$ [/mm] auffasst (was Definitionssache wäre und durchaus Sinn macht), oder [mm] $\sqrt[3]{-8}$ [/mm] -im Sinne der komplexen Analysis- als eine der drei komplexen Wurzeln von $-8$ und zwar die, die auf der negativen reellen Achse liegt:
[mm] $e^{\frac{1}{3} \log (-8)}$.
[/mm]
Bei letzterem kommt man in Schulbüchern ins Straucheln, da man hier nicht den "normalen" natürlichen Logarithmus wählen kann, sondern den ersten Nebenzweig, was die Schüler natürlich überfordert. Daher verbietet man das Ziehen dritter Wurzeln von negativen Zahlen in Schulbüchern.
Richtig ist, dass die Logarithmengesetze i.A. nicht mehr gelten (im Übrigen gilt das dann natürlich auch für die Potenzgesetze), wenn man den gewöhnlichen Hauptzweig verlässt. Das ist aber im Sinne der komplexen Analysis kein Problem.
Studiert Mathe, dann werdet ihr das alles (gewöhnlicherweise im vierten Semester -> Funktionentheorie) ganz genau erfahren... 
Liebe Grüße
Julius
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@Zwerglein
Danke. So eine Erklärung habe ich gesucht.
@Julius
Dir auch danke, habe aber leider deine Erklärung noch nicht ganz verstanden. Aber ich werde deinen letzten Tipp evtl. beherzigen :)
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