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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Cocojack |
| Aufgabe | 14.1) Diskutieren Sie die folgenden Funktionen
Hierzu gehören folgende Angaben:
Nullstellen, Pole, Lücken, Lückenwerte , Asymptoten, Schnittpunkte mit der y-Achse und der Graph
c) [mm] y=\bruch{2x^2+5x-3}{2x^2-7x+3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Tag erstmal miteinander
heute habe ich mich den ganzen Tag damit beschäftigt, zu verstehen wie Asymptoten herzuleiten sind, Pole und Lückenwerte zu kreiren...
(anmerkung, ich habe die Lösungen der Aufgaben, verstehe den Weg nur nicht)
Problem 1) Definitionslücken
z.B. die Funktion [mm] y=\bruch{2x+3}{x+1} [/mm] hat ja bei -1 eine definitionslücke, mein Professor jedoch schreibt Lücke:keine
diese Funktion hier hat eine Lücke bei 0,5 (ok Nullstelle bei -3 und 0,5;Polstelle bei 0,5 und 3) daraus schließe ich das wenn Polstellen und Nennernullstellen übereinstimmen eine Lücke dort existiert.
(ist das richtig?)
Problem 2)
Vorzeichenwechsel)
wenn der Exponent Ungerade ist (sprich 1,3,5,7,...) gibt es einen VZW, wenn der Exponent Gerade ist (sprich 2,4,6,8...) gibt es keinen VZW.
bei der funktion in der Aufgabe gibt es im nenner [mm] (2x^2-7x+3) [/mm] doch einen ^2 exponenten (also grade) [wenn man sich den spaß macht und das Umformt zu [mm] 2(X-\bruch{7}{4})^2-\bruch{25}{8}x^0 [/mm] dann hat es nur grade exponenten.]
jedoch in den Lösungen steht "Polstelle xp=3 (ungerade)"
Problem 3)
was ist der Lückenwert
laut Lösung= [mm] yl=-\bruch{7}{5}
[/mm]
(ist das der y wert wo der punkt liegen müsste wenn bei der Lücke.. keine Lücke wäre?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Problem 1) Definitionslücken
> z.B. die Funktion $ [mm] y=\bruch{2x+3}{x+1} [/mm] $ hat ja bei -1 eine definitionslücke, mein Professor jedoch schreibt Lücke:keine
Deine Aussage ist richtig, die des Professors falsch. (Es sei denn, der Definitionsbereich der Funktion wäre von vornherein schon eingeschränkt, auf [mm] \IR^+ [/mm] hat sie keine Lücken.)
> diese Funktion hier hat eine Lücke bei 0,5 (ok Nullstelle bei -3 und 0,5;Polstelle bei 0,5 und 3) daraus schließe ich das wenn Polstellen und Nennernullstellen übereinstimmen eine Lücke dort existiert.
> (ist das richtig?)
Folgendes ist richtig :
Die Zählerfunktion [mm] 2x^2+5x-3 [/mm] hat Nullstellen bei -3 und 0,5, lässt sich also auch schreiben als 2*(x+3)*(x-0,5); die Nennerfunktion [mm] 2x^2-7x+3 [/mm] hat Nullstellen bei 3 und 0,5, lässt sich also auch schreiben als 2*(x-3)*(x-0,5).
Somit wird y = [mm] \bruch{2x^2+5x-3}{2x^2-7x+3} [/mm] zu y = [mm] \bruch{2*(x+3)*(x-0,5)}{2*(x-3)*(x-0,5)}.
[/mm]
3 und 0,5 gehören nicht zum Definitionsbereich D = [mm] \IR [/mm] \ {3; 0,5} der Funktion. Die Klammer (x-0,5) lässt sich aber aus dem obigen Funktionsterm kürzen, so dass eine neue Funktion [mm] y_1 [/mm] = [mm] \bruch{x+3}{x-3} [/mm] entsteht, die für alle x [mm] \in [/mm] D mit y übereinstimmt, aber zusätzlich auch für x=0,5 definiert ist (und dort den Funktionswert [mm] \bruch{0,5+3}{0,5-3} [/mm] = [mm] -\bruch{7}{5} [/mm] hat).
Solche Stellen, bei denen nach Kürzen der Definitionsbereich erweitert und die Funktion damit stetig fortgesetzt werden kann, bezeichnest du als "Lücken", die anderen sind "Polstellen".
Die Klammer (x-3) taucht bei [mm] y_1 [/mm] in der ersten, also in ungerader Potenz auf, also ist 3 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Noch ein Beispiel :
Die Funtion y = [mm] \bruch{(x-1)^3*(x-2)^5*(x-3)^2*(x-4)}{(x-1)^3*(x-2)^2*(x-3)^5*(x-4)^3} [/mm] hat bei x=1 eine Lücke (mit Lückenwert [mm] \bruch{1}{72}), [/mm] sie hat bei x=2 eine Lücke (mit Lückenwert 0), sie hat bei x=3 eine Polstelle mit VZW, sie hat bei x=4 eine Polstelle ohne VZW.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Cocojack |
Dankeschön :) jetzt habe ich es verstanden :)
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