Vereinigung von Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Wann ist die Vereinigung zweier Körper ein körper? |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich weis das K ein Körper ist wenn K bzgl. +, * eine abelsche Gruppe ist und die Distributivgesetze gelten.
Warum ist nun die Vereinigung zweier Körper im allgemeinen kein Körper?
Welche Bedingung müsste gelten damit das Problem beseitigt wird?
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Hallo,
> Wann ist die Vereinigung zweier Körper ein körper?
> Hallo liebe Gemeinde!
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> Also ich weis das K ein Körper ist wenn K bzgl. +, * eine
> abelsche Gruppe ist und die Distributivgesetze gelten.
>
> Warum ist nun die Vereinigung zweier Körper im allgemeinen
> kein Körper?
Auf der Vereinigungsmenge zweier Körper lässt sich i.A. nicht mal eine Addition oder Multiplikation definieren, z.B. [mm] $\mathbb F_2 [/mm] , [mm] \mathbb F_3$
[/mm]
> Welche Bedingung müsste gelten damit das Problem beseitigt
> wird?
Da die Addition und Multiplikation beider Körper veträglich sein müssen lässt sich hier eine relativ einfache Bedingung finden.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
> Auf der Vereinigungsmenge zweier Körper lässt sich i.A.
> nicht mal eine Addition oder Multiplikation definieren,
> z.B. [mm]\mathbb F_2 , \mathbb F_3[/mm]
ok. du meinst wenn man zwei körper hat deren elemente z.B. inkompatibel zum addieren sind oder ?
nun, ich kenne nicht so viele Körper leider, also [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] wären kompatibel z.B.
was sind [mm] \mathbb F_2 [/mm] , [mm] \mathbb F_3 [/mm] für Mengen??
> Da die Addition und Multiplikation beider Körper
> veträglich sein müssen lässt sich hier eine relativ
> einfache Bedingung finden.
die Bedingung dass Addition und Multiplikation für die Vereinigung definierbar sind und die Vereinigung bzgl. dieser operationen distributiv?
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> > Auf der Vereinigungsmenge zweier Körper lässt sich i.A.
> > nicht mal eine Addition oder Multiplikation definieren,
> > z.B. [mm]\mathbb F_2 , \mathbb F_3[/mm]
>
> ok. du meinst wenn man zwei körper hat deren elemente z.B.
> inkompatibel zum addieren sind oder ?
>
> nun, ich kenne nicht so viele Körper leider, also [mm]\IR[/mm] und
> [mm]\IQ[/mm] wären kompatibel z.B.
>
> was sind [mm]\mathbb F_2[/mm] , [mm]\mathbb F_3[/mm] für Mengen??
Gar keine. Körper sind keine Mengen. Die obiggen Körper sind die - bis auf isomorphie - eindeutig bestimmten Körper mit 2 bzw. 3 Elementen. Auf welcher Menge diese Körperstruktur realisiert wird ist dabei relativ egal, das einfachste ist die Menge der Äquivalenzklassen [mm] $\mathbb [/mm] Z/n [mm] \mathbb [/mm] Z$ mod n.
>
> > Da die Addition und Multiplikation beider Körper
> > veträglich sein müssen lässt sich hier eine relativ
> > einfache Bedingung finden.
>
> die Bedingung dass Addition und Multiplikation für die
> Vereinigung definierbar sind und die Vereinigung bzgl.
> dieser operationen distributiv?
d.h. dass die Vereinigung ein Körper ist? Nein, ich meine in diesem Fall eine (fast) rein mengentheoretische Bedingung.
Vielleicht überlegst du es dir zuerst für Unterkörper von [mm] $\mathbb [/mm] C$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
> das einfachste ist die Menge der Äquivalenzklassen [mm]\mathbb Z/n \mathbb Z[/mm]
> mod n.
ok. nehme z.B. die Äquivalenzklassen [mm] Z/2=\{1,2\} [/mm] und [mm] Z/3=\{1,2,3\} [/mm] (und deren Äquivalente elemente) dann vereinige ich diese zwei mengen... dann habe ich die Menge [mm] \{1,2,3\} [/mm] diese ist aber wieder ein körper weil sie ja Z/3 ist oder? wie kann ich zwei Restklassen finden deren Vereinigung kein Körper ist?
> in diesem Fall eine (fast) rein mengentheoretische
> Bedingung.
> Vielleicht überlegst du es dir zuerst für Unterkörper
> von [mm]\mathbb C[/mm].
hmm.. sind unterkörper von [mm] \IC [/mm] offene Kreise um elemente in [mm] \IC [/mm] ? und zusätzlich [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ?
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> > das einfachste ist die Menge der Äquivalenzklassen [mm]\mathbb Z/n \mathbb Z[/mm]
> > mod n.
>
> ok. nehme z.B. die Äquivalenzklassen [mm]Z/2=\{1,2\}[/mm] und
Schon das ist falsch: Es ist [mm]Z/2=\{[1]_2,[2]_2\}[/mm], wobei [mm] $[i]_2$ [/mm] die Menge aller ganzen Zahlen die äquivalent zu i modulo 2. [mm] $[1]_2$ [/mm] z.B. ist die menge aller ungeraden ganzen Zahlen. 1 ist ein Representant dieser Menge, nicht die Menge selbst.
> [mm]Z/3=\{1,2,3\}[/mm] (und deren Äquivalente elemente) dann
> vereinige ich diese zwei mengen... dann habe ich die Menge
> [mm]\{1,2,3\}[/mm] diese ist aber wieder ein körper weil sie ja Z/3
> ist oder? wie kann ich zwei Restklassen finden deren
> Vereinigung kein Körper ist?
> > in diesem Fall eine (fast) rein mengentheoretische
> > Bedingung.
> > Vielleicht überlegst du es dir zuerst für Unterkörper
> > von [mm]\mathbb C[/mm].
>
> hmm.. sind unterkörper von [mm]\IC[/mm] offene Kreise um elemente
> in [mm]\IC[/mm] ? und zusätzlich [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm] ?
Bitte? Ich habe keine Idee was du damit meinen könntest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
danke für deine antworten!
tut mir leid, ich kann es mir vorstellen dass es ärgerlich ist unpräzise formulierte antworten oder fragen zu lesen, wir sind eben auf unterschiedlichen niveaus. momentan kann ich mich noch nicht besser ausdrücken (versuche mein bestes) :)
zur der Frage ob es allgemein gilt:
wenn ich dich richtig verstanden habe könnte ich zwei Restklassen als gegenbeispiel dafür anführen warum die Vereinigung zweier Körper im allgemeinen kein Körper ist, mit dem Argument dass es Restklassen gibt auf deren Vereinigung sich nichtmal eine Addition definieren lässt. Hast du das gemeint?
Nun zu der Bedingung:
Du meinst ich könnte dadurch das ich mir Unterkörper von [mm] \IC [/mm] ansehe eine (mengentheoretische) Bedingung finden welche dann ausreicht damit die Vereinigung dieser Unterkörper dann auch immer ein Körper ist? Und diese Bedingung hat scheinbar etwas mit der Distributivität zu tun? Richtig? Noch ein Tipp?
:)
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> danke für deine antworten!
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> tut mir leid, ich kann es mir vorstellen dass es ärgerlich
> ist unpräzise formulierte antworten oder fragen zu lesen,
> wir sind eben auf unterschiedlichen niveaus. momentan kann
> ich mich noch nicht besser ausdrücken (versuche mein
> bestes) :)
Es ist nicht ärgerlich. Ich weiße nur darauf hin weil man die Wichtigkeit exakte Sprache in der Mathematik zu verwenden kaum überbewerten kann und dies den meisten Anfängern nicht wirklich bewusst ist.
> zur der Frage ob es allgemein gilt:
>
> wenn ich dich richtig verstanden habe könnte ich zwei
> Restklassen als gegenbeispiel dafür anführen warum die
> Vereinigung zweier Körper im allgemeinen kein Körper ist,
> mit dem Argument dass es Restklassen gibt auf deren
> Vereinigung sich nichtmal eine Addition definieren lässt.
> Hast du das gemeint?
Restklassen sind die Elemente von Restklassenkörpern/ringen.
Wahrscheinlich meinst du aber das Richtige.
> Nun zu der Bedingung:
>
> Du meinst ich könnte dadurch das ich mir Unterkörper von
> [mm]\IC[/mm] ansehe eine (mengentheoretische) Bedingung finden
> welche dann ausreicht damit die Vereinigung dieser
> Unterkörper dann auch immer ein Körper ist? Und diese
> Bedingung hat scheinbar etwas mit der Distributivität zu
> tun? Richtig? Noch ein Tipp?
Tipp: Es ist einfacher als du denkst. Und es hat gar nichts mit Distributivität zu tun.
> :)
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> > Nun zu der Bedingung:
> >
> > Du meinst ich könnte dadurch das ich mir Unterkörper von
> > [mm]\IC[/mm] ansehe eine (mengentheoretische) Bedingung finden
> > welche dann ausreicht damit die Vereinigung dieser
> > Unterkörper dann auch immer ein Körper ist? Und diese
> > Bedingung hat scheinbar etwas mit der Distributivität zu
> > tun? Richtig? Noch ein Tipp?
> Tipp: Es ist einfacher als du denkst. Und es hat gar nichts
> mit Distributivität zu tun.
hm also wenn (K1,+,*) und (K2,+,*) Körper sind, dann ist die Vereinigung ein Körper wenn K1 Teilmenge von K2 ist oder K2 Teilmenge von K1?
Sowas in die Richtung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 15.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Das Problem ist das Folgende: Ich kenne lediglich Vereinigung von Mengen. Wenn man zwei Mengen vereinigt, erhält man aber eine Menge und keinen Körper, also macht die Frage keinen Sinn. Sobald du mir definierst, was die Vereinigung zweier Körper ist, kann man sich der Ursprungsfrage nähern. Erkennst du die Problematik?
Die einzig halbwegs sinnvolle Frage ist die Folgende: Wann bildet die Vereinigung der zwei Teilkörpern eines festen Körpers zugrundeliegenden Mengen wieder einen Teilkörper? Die Antwort hierauf lautet: Genau dann, wenn der eine Körper im anderen enthalten ist.
Was dich zu dieser Frage bringt, ist ein grundlegender Fehler in der Lehre, dass einem nicht beigebracht wird, zwischen Objekten verschiedener Kategorien zu unterscheiden. Ein Körper ist etwas anderes als die ungerliegende abelsche Gruppe der Addition, diese ist etwas anderes als dieselbe Menge mit der selben Verknüpfung als Gruppe, welche die Eigenschaft hat, das Vertuschungsgesetz zu erfüllen, und die allen diesen Strukturen zugrundeliegende Menge ist wieder etwas anderes. Man muss keine Kategorientheorie kennen, um davon zu profitieren, wenn man sich den Unterschied zwischen Objekten verschiedener Kategorien klar macht. Dies gilt sogar dann, wenn die Objekte mengentheoretisch gleich sind. Eine Menge als Objekt der Kategorie der Mengen mit Abbildungen als Pfeile ist etwas anderes als dieselbe Menge in der Kategorie der Mengen mit Relationen als Pfeile.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Für interessierte Leser ist sicherlich der folgende Artikel interessant: ![[]](/images/popup.gif) Link
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Do 13.03.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Was dich zu dieser Frage bringt, ist ein grundlegender
> Fehler in der Lehre, dass einem nicht beigebracht wird,
> zwischen Objekten verschiedener Kategorien zu
> unterscheiden.
Lehre ist immer ein Balanceakt zwischen (eigentlich nicht gueltigen) Vereinfachungen und korrekter Formulierung. Macht man alles ganz (formal) korrekt, kommt sowas wie Bourbaki heraus: zwar voellig korrekt und vollstaendig, aber didaktisch nicht zu gebrauchen (ausser fuer ganz, ganz wenige Ausnahmen  ).
Wenn man das erste mal anfaengt, abstrakte Objekte wie Koerper, Ringe, Gruppen etc. kennenzulernen, ist zuviel Formalismus hinderlich, da man erstmal verstehen muss, warum diese Abstraktionsebene (Koerper, Ringe, Gruppen) ueberhaupt Sinn machen und warum man nicht direkt mit Zahlen oder Vektoren oder Matrizen arbeitet.
Die Frage ist halt, wann man anfaengt, genuegend Formalismus hinzuzufuegen. Du hast durchaus Recht, dass zumindest Teile (teilweise auch grosse Teile!) davon meist nicht gemacht werden, und ich finde das ebenfalls nicht gut. (Ein weiteres Beispiel ist die Unterscheidung von einer Funktion $f$ sowie deren Auswertung $f(x)$ an einem Element $x$ aus dem Definitionsbereich. Es kommt so haeufig vor, dass jemand $f(x)$ fuer die Funktion selber schreibt... Insbesondere wenn Dozenten das in Anfaengervorlesungen konsequent so durchziehen tut mir das innerlich weh )
Aber darueber zu diskutieren ist sicher nicht der Sinn dieses Threads. Wenn Interesse besteht, dies weiterzudiskutieren, verschieben wir es besser in's Cafe.
> P.S.: Für interessierte Leser ist sicherlich der folgende
> Artikel interessant:
> Link
Apropos, Links auf Unterseiten vom MathePlanet funktionieren bei mir nie: ich lande immer auf der Hauptseite und frage mich wie ich an's Ziel komme. (Moeglicherweise liegt es daran, dass JavaScript bei mir per Default deaktiviert ist.) Ist das auch bei anderen so?
LG Felix
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Falls es dich interessiert, google mal "Vergissfunktoren dürfen nicht vergessen werden". Der Artikel (wie alle von diesem Autor) ist sehr lesenswert, wenngleich elementar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:36 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin,
>
> > Was dich zu dieser Frage bringt, ist ein grundlegender
> > Fehler in der Lehre, dass einem nicht beigebracht wird,
> > zwischen Objekten verschiedener Kategorien zu
> > unterscheiden.
>
> Lehre ist immer ein Balanceakt zwischen (eigentlich nicht
> gueltigen) Vereinfachungen und korrekter Formulierung.
> Macht man alles ganz (formal) korrekt, kommt sowas wie
> Bourbaki heraus: zwar voellig korrekt und vollstaendig,
> aber didaktisch nicht zu gebrauchen (ausser fuer ganz, ganz
> wenige Ausnahmen ).
>
> Wenn man das erste mal anfaengt, abstrakte Objekte wie
> Koerper, Ringe, Gruppen etc. kennenzulernen, ist zuviel
> Formalismus hinderlich, da man erstmal verstehen muss,
> warum diese Abstraktionsebene (Koerper, Ringe, Gruppen)
> ueberhaupt Sinn machen und warum man nicht direkt mit
> Zahlen oder Vektoren oder Matrizen arbeitet.
>
> Die Frage ist halt, wann man anfaengt, genuegend
> Formalismus hinzuzufuegen. Du hast durchaus Recht, dass
> zumindest Teile (teilweise auch grosse Teile!) davon meist
> nicht gemacht werden, und ich finde das ebenfalls nicht
> gut. (Ein weiteres Beispiel ist die Unterscheidung von
> einer Funktion [mm]f[/mm] sowie deren Auswertung [mm]f(x)[/mm] an einem
> Element [mm]x[/mm] aus dem Definitionsbereich. Es kommt so haeufig
> vor, dass jemand [mm]f(x)[/mm] fuer die Funktion selber schreibt...
> Insbesondere wenn Dozenten das in Anfaengervorlesungen
> konsequent so durchziehen tut mir das innerlich weh )
ja, sowas kenne ich, und tut mir auch weh. Es tut aber auch schon weh,
diese Diskussion hatte ich gerade an anderer Stelle, wenn man in Anfängervorlesungen
- ohne weiteres dazu zu sagen- schreibt, dass
[mm] $\cdot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$
so sein soll, dass $(K [mm] \setminus \{0\}, \red{\cdot})$ [/mm] abelsche Gruppe ist.
Die Multiplikation in der "Gruppensymbolik" kann ja nicht auf $K [mm] \times [/mm] K$ definiert
sein.
Es gibt übrigens auch noch andere Notationen, wo nicht jeder dazu schreibt,
dass da eigentlich Zusatzdefinitionen verwendet werden:
Wenn man
[mm] $\IR^n=\{(x_1,...,x_n)^T: x_1,...,x_n \in \IR\}$
[/mm]
schreibt und dann sagt:
Es sei
$f [mm] \colon \IR^n \to [/mm] ...$
definiert durch
[mm] $f(x_1,...,x_n):=...\,.$
[/mm]
Strenggenommen macht das keinen Sinn. Man müßte wenigstens
[mm] $f(x_1,...,x_n):=f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n})$
[/mm]
definieren - oder besser, im Hinblick auf "Zeilenvektornotationen" schon sowas:
[mm] $f(x_1,...,x_n):=f(\,(x_1,...,x_n)\,):=f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n})\,,$
[/mm]
wobei man hier auch strenggenommen sagen sollte, dass und wie man
obigen "Spaltenraum"
[mm] $\IR^n$
[/mm]
mit dem "Zeilenraum"
[mm] $\{(x_1,...,x_n):\;x_1,...,x_n \in \IR\}$
[/mm]
'identifizieren' kann.
Wenn ich mich recht erinnere, gibt's didaktisch sogar relativ viele solcher
"kleiner Lücken", die oft übergangen werden - wobei ich mir auch nicht
immer sicher war, ob jeder diese erkennt (man muss ja auch nicht alle
erkennen, aber so manche sollte einem schon bewußt werden).
Übrigens gibt's auch "tolle Aufgabenformulierungen", die mit den Mitteln,
wie sie in der Vorlesung zur Verfügung gestellt werden, eigentlich relativ
sinnlos sind. Solche wie
"Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion
[mm] $f(x):=\frac{1}{(x-2)*\sqrt{1-x^2}}$"
[/mm]
Warum ist das sinnlos? Z.B. weil vorher im Skript steht "Eine Funktion ist ein
Tupel (.,.,...), wobei ... Verknüpfungen sind"...
Naja, aber jetzt kann man sich drüber streiten: Soll man auf jede Kleinigkeit,
und scheint sie (bisher) auch noch so bedeutungslos, hinweisen? Oder
blockiert man damit nur die "Weiterentwicklung der Mathematik" bei
"wirklich wichtigen Fragen"?
Wenn ich so an die Dedekindschen Schnitte etwa denke, so stellt sich mir
im Nachhinein die Frage "Gut, dass der Mann da ein festes Gerüst gebaut
hat - aber ist das nicht vielleicht eigentlich für viele erstmal eine *Bremse*,
wenn sie sich damit befassen müssen"?
Nicht falsch verstehen: Ich mag' diese Dedekindschen Schnitte. Aber es
gibt ja auch andere Methoden - die man vielleicht erst mit etwas *höherem*
Wissensniveau nachvollziehen kann.
Andererseits: Soll man die Leute wirklich, so wie Heuser das macht, die
reellen Zahlen als *gottgegeben - und sie erfüllen halt gewisse Axiome
-> Körperaxiome (vollst. Körper etc. sogar noch zusätzlich)* hinnehmen
lassen und von vorneherein so damit arbeiten lassen?
Hat auf jeden Fall den Vorteil, dass sie *altbekanntes, was sie aber vllt.
noch nie theoretisch gefestigt gesehen haben*, benutzen und damit
dann schnell weiterkommen können. Aber halt dennoch den Nachteil:
Sie müssen sich drauf verlassen, dass das Grundgerüst stabil ist, und
mehr können sie nicht, da sie es noch nie geprüft haben, ob es wirklich
stabil ist.
Ich glaube, die Kunst liegt darin, beides so zu vermitteln, dass das
Gegenüber selber entscheiden kann, welcher Weg für ihn der Beste ist.
Aber darf man so viel Flexibilität zulassen - bei *Anfängern*?
Nunja, Du sagtest es ja schon: Eigentlich müßten wir sowas eher im Café
diskutieren!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Fr 14.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix!
> Lehre ist immer ein Balanceakt zwischen (eigentlich nicht
> gueltigen) Vereinfachungen und korrekter Formulierung.
Ich habe große Bauchschmerzen bei dieser didaktischen Einstellung.
Nimmt man eine "eigentlich nicht gültige Vereinfachung" vor, gibt es aus Sicht des Lernenden zwei Möglichkeiten:
1. Er merkt, dass die Vereinfachung eigentlich nicht gültig ist.
Dann wird er quasi genötigt sich selbst zu übersetzen, was wirklich korrekterweise gemeint ist. Aus der vermeintlichen Vereinfachung wird damit eine Erschwernis für ihn.
2. Er merkt überhaupt nicht, dass eine eigentlich nicht gültige Vereinfachung vorgenommen wurde. Dann glaubt er etwas zu verstehen, was er in Wirklichkeit gar nicht richtig versteht. Das mag den Lehrenden populär machen; in Wahrheit vermittelt er aber dann nur ein Scheinverständnis. Das kann nicht Sinn und Zweck der Lehre an einer Hochschule sein.
> Macht man alles ganz (formal) korrekt, kommt sowas wie
> Bourbaki heraus: zwar voellig korrekt und vollstaendig,
> aber didaktisch nicht zu gebrauchen (ausser fuer ganz, ganz
> wenige Ausnahmen ).
Ich habe gute Erfahrungen mit einem Mittelweg gemacht: Wenn man etwas verwenden möchte, dessen exakter Beweis nicht hilfreich wäre, habe ich auf den Beweis verzichtet, aber deutlich gemacht, welchen Zusammenhang ich unbewiesener Weise benutze.
> Wenn man das erste mal anfaengt, abstrakte Objekte wie
> Koerper, Ringe, Gruppen etc. kennenzulernen, ist zuviel
> Formalismus hinderlich, da man erstmal verstehen muss,
> warum diese Abstraktionsebene (Koerper, Ringe, Gruppen)
> ueberhaupt Sinn machen und warum man nicht direkt mit
> Zahlen oder Vektoren oder Matrizen arbeitet.
Gerade zu Anfang finde ich es besonders wichtig, auf eigentlich falsche Vereinfachungen zu verzichten, da man besonders als Anfänger die Vereinfachung nicht wird korrekt einordnen können. Wie soll man den Sinn der Abstraktionsebene Körper/Ringe/Gruppen verstehen, wenn einem nicht einmal der Unterschied zwischen einer Menge und einem Körper klar ist?
Viele Grüße
Tobias
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