abstrakte Folge mit Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Fr 09.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = a. Zeigen Sie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}a_{k})=a. [/mm] |
Guten Abend,
und auch bei dieser Aufgabe bräuchte ich Hilfe ;)
Das einzige, was ich der Aufgabe entnehmen kann, ist dass die Summe aus den Gliedern [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{n} [/mm] besteht und dass jedes dieser Glieder mit [mm] [latex]\bruch{1}{n}[/latex] [/mm] multipliziert wird. Ich muss davon ausgehen, dass die Folge [mm] a_{k} [/mm] ein Bruch oder irgendetwas ähnliches ist, denn sonst würde sie mit steigender Gliedzahl nicht gegen a konvergieren.
Ein gedanklicher Anstoß oder eine Wegweisung wäre hilfreich.
Schöne Grüße an die Nachteulen unter uns,
mfg zjay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Sa 10.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo zjay,
> Schöne Grüße an die Nachteulen unter uns,
Hier gibts keine Nachteulen. Und selbst wenn - was sollten die schon nachmittags um 23:14h hier suchen?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Sa 10.11.2012 | | Autor: | zjay |
Das hängt wohl davon ab, was Nachteulen für uns sind. Für mich sind Nachteulen Personen, die nachts wach sind - feiern, lesen, arbeiten ... wasauchimmer.
Aber darauf wollte ich jetzt auch nicht eingehen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Di 13.11.2012 | | Autor: | Marcel |
> Das hängt wohl davon ab, was Nachteulen für uns sind.
> Für mich sind Nachteulen Personen, die nachts wach sind -
> feiern, lesen, arbeiten ... wasauchimmer.
Das war auch sicher nicht ironisch von reverend gemeint...
> Aber darauf wollte ich jetzt auch nicht eingehen ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:59 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
In Worten ist die aussage einfach: Konvergiert [mm] (a_n) [/mm] gegen a, so geht der Mittelwert der Folgenglieder auch gegen a. Anschaulich ist das eigentlich ganz klar, wenn eine Folge gegen a strebt, dann "lungern" natürlich unendlich viele Folgenglieder um a rum, also wird der Durchschnitt der Folgenglieder mit wachsendem n auch immer mehr zu a hin gezogen.
Zum Beweis:
Zeige das erst einmal für den Fall, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist. Das macht die Sache etwas entspannter und den allgemeinen Fall kannst du daraus leicht folgern. Du kannst es aber auch direkt allgemein versuchen mit dem Ansatz, den ich dir für Nullfolgen gebe.
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ fest. Dann gibt es ein $N$ mit [mm] $|a_n|<\varepsilon$ [/mm] für alle $n>N$. Spalte die Summe nun so auf, falls $n>N$ ist:
[mm] \frac{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k=\frac{1}{n}\summe_{k=1}^{N}a_k [/mm] + [mm] \frac{1}{n}\summe_{k=N+1}^{n}a_k.
[/mm]
Nun schaue die den Limes für beide Summanden einzeln an. Du willst zeigen, dass beide gegen 0 gehen. Noch ein Tipp: [mm] b_n \rightarrow [/mm] 0 [mm] \gdw |b_n| \rightarrow [/mm] 0 für eine Folge [mm] (b_n).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
Hi,
danke für deinen Tipp. Nach reichlichem Rumprobieren habe ich einen akzeptablen Beweis hingekriegt.
Danke für die Hilfe,
Grüße zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
wobei .. ich bin mir jetzt doch nicht mehr ganz sicher ob ich verstanden habe, was gezeigt werden soll.
Zunächst einmal für die nullfolge:
Ich nehme deine Voraussetzungen und sage:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n*\summe_{i=1}^{N}a_{k}) [/mm] = 1/n * [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... [mm] +a_{N})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n*\summe_{i=N+1}^{n}a_{k}) [/mm] = 1/n * [mm] (a_{N+1} [/mm] + [mm] a_{N+2} [/mm] + ... [mm] +a_{n})
[/mm]
Muss hier an der Stelle nicht eine Fallunterscheidung getroffen werden für
n >, <, = [mm] (a_{N+1} [/mm] + [mm] a_{N+2} [/mm] + ... [mm] +a_{n}) [/mm] ?
Ich glaube ich bin gerad ein wenig verwirrt und mache erstmal eine kurze pausel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ich verstehe nicht, was für eine Fallunterscheidung du meinst`du hast doch die ganze Summe nur in 2 Teile zerlegt,
und n ist doch nur die Nummer von [mm] a_n [/mm] und hat mit deren Größe nichts zu tun.
du hast ein endliches N noch frei wählbar.
jetzt solltest du
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n\cdot{}\summe_{i=1}^{N}a_{i}) [/mm] $ = 1/n * $ [mm] (a_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{2} [/mm] $ + ... $ [mm] +a_{N}) [/mm] $
bestimmen können. denk dran N ist fest, nur n gegen Unendlich
es bleibt der 2 te Teil.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n\cdot{}\summe_{i=N+1}^{n}a_{i}) [/mm] $ = 1/n * $ [mm] (a_{N+1} [/mm] $ + $ [mm] a_{N+2} [/mm] $ + ... $ [mm] +a_{n}) [/mm] $
hier musst du nun die gegebene Konvergenz benutzen : es gibt ein N ab dem.....
damit kannst du die Summe abschätzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, dass N fest ist, weiß ich.
Aber deiner weiteren Ausführung kann ich nicht folgen oder es ist mir einfach nicht so klar wie dir.
kannst du hier ein wenig konkreter werden? die summe abschätzen?
Mit zunehmendem N strebt die Summe weiter gegen den Grenzwert a. Willst du mit dem bestimmten N auf die epsilon Umgebung anspielen?
gruß,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay, dass N fest ist, weiß ich.
N fest aber noch frei wählbar.
Hast du den lim der ersten Summe?
> Aber deiner weiteren Ausführung kann ich nicht folgen oder
> es ist mir einfach nicht so klar wie dir.
> kannst du hier ein wenig konkreter werden? die summe
> abschätzen?
heisst Summe < als und das ist deine Aufgabe!
> Mit zunehmendem N strebt die Summe weiter gegen den
> Grenzwert a.
du weisst nur die Summanden streben gegen a,wenn die Summe das tut hättest du doch die Konvergenz
eben war N noch fest, n geht gegen unendlich
>Willst du mit dem bestimmten N auf die epsilon
ja, und ich will deine Aufgabe nicht lösen, sondern dir Tips geben. Deine Antwort kam zu schnell, viel kannst du in der Zeit nicht ausprobiert haben!
also was kannst du über die 2 te Summe sagen , wenn du die konvergenz von [mm] a_n [/mm] benutzt, du kannst zb alle [mm] a_n [/mm] vergroßern, dann wird die Summe größer, wenn die gtüßere summe einen GW hat, dann auch die kleinere.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
Soll die Argumentationskette dann so aussehen, dass der erste Teil der Summe bis N gegen [mm] a_{N}/n [/mm] strebt und der zweite Teil gegen [mm] a_{n}/n?
[/mm]
was ich aber bisher verstanden habe, ist dass
wenn ich N so wähle, dass ab [mm] a_{N}
[/mm]
[mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt, sprich alle folgenden [mm] a_{N+1, ... } [/mm] in der epsilonumgebung liegen, dann konvergiert die Folge gegen a. [mm] Da\summe_{i=N+1}^{n} [/mm] nun gegen a konvergiert, muss die erste Summe auch gegen a konvergieren??!
gruß, zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Soll die Argumentationskette dann so aussehen, dass der
> erste Teil der Summe bis N gegen [mm]a_{N}/n[/mm] strebt
?
Was ist denn etwa
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{999}a_k\;\;?$$
[/mm]
Hier reicht es, das Beispiel zu verstehen, denn bei
[mm] $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N}a_k$$
[/mm]
ist [mm] $N\,$ [/mm] von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig!
[mm] $(\*)$ [/mm] Und wenn [mm] $(b_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt, gilt sicher [mm] $|b_n| \le \varepsilon/2$
[/mm]
für alle genügend großen [mm] $n\,.$
[/mm]
> und der
> zweite Teil gegen [mm]a_{n}/n?[/mm]
Wieder: ???
> was ich aber bisher verstanden habe, ist dass
>
> wenn ich N so wähle, dass ab [mm]a_{N}[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] gilt, sprich alle folgenden [mm]a_{N+1, ... }[/mm]
> in der epsilonumgebung liegen, dann konvergiert die Folge
> gegen [mm]a. [/mm]
Welche Folge? Dass [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt, ist keine Zauberei: Das gilt nach
Voraussetzung. Übrigens, das sollte man hier nicht vergessen:
Bzgl. allen bisherigen Argumentationen wurde Dir vorher schon
gesagt, dass Du zunächst den Fall [mm] $a=0\,,$ [/mm] also [mm] $a_n \to 0\,,$ [/mm] betrachten
sollst! Die Tipps gelten auch bzgl. dieser Annahme!
> Da [mm]\summe_{i=N+1}^{n}[/mm] nun gegen a konvergiert, muss
> die erste Summe auch gegen a konvergieren??!
???
Die Idee, [mm] $N\,$ [/mm] zu [mm] $\varepsilon$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt, ist ja gut. Ein bisschen besser, wegen der
Bemerkung [mm] $(\*),$ [/mm] ist es hier, [mm] $N\,$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Bedenke aber nochmal: Momentan wird nur der Fall [mm] $a=0\,$
[/mm]
betrachtet! Es gilt hier also [mm] $|a_n-a|=|a_n|\,.$
[/mm]
Und dann gilt für alle $n [mm] \ge [/mm] N:$
[mm] $$|\sum_{k=N+1}^n a_k|\le \sum_{k=N+1}^n |a_k|$$
[/mm]
Warum gilt nun [mm] $\sum_{k=N+1}^n |a_k| \le n*\varepsilon/2$ [/mm] und warum
hilft uns das?
Wie kann man den allgemeinen Fall: [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \not=0$ [/mm] auf den obigen Fall
zurückführen? (Tipp: [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow b_n:=a_n-a \to [/mm] ...$)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Teufels Tipp, erstmal nur den Fall [mm] $a_n \to [/mm] 0$ zu behandeln, ist gut.
Wenn man dies allerdings dennoch nicht machen will:
Wir haben ja, dass nach Annahme [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt.
Zu zeigen ist nun:
[mm] $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \to a\,.$$
[/mm]
Dazu zeigt man, dass [mm] $\big(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\big)-a \to 0\,.$
[/mm]
Und damit man dann mit der Voraussetzung auch arbeiten kann:
[mm] $$a=\frac{1}{n}*(na)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n [/mm] a$$
hilft hier.
P.S.: Der Rest des Beweis geht dann vollkommen analog zum Spezialfall [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Di 13.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine konvergente Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = a. Zeigen Sie
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}a_{k})=a.[/mm]
da gehört
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}\summe_{\red{k}=1}^{n}a_{k})=a$$
[/mm]
hin.
Gruß,
Marcel
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