häufungspunkte/abzählbar < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 18.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo leute!!
ich habe eine multiple choice frage mit richtig oder falsch zu beantworten ,die wie folgt lautet:Eine abzählbare menge kann höchstens abzählbar viele häufungspunkte haben. [mm] \Box [/mm] r [mm] \Box [/mm] f ?
ich dachte an die menge der abzählbaren natürlichen zahlen aber die haben doch unendlich viele häufungspunkte oder?
danke schonmal im voraus!!
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> hallo leute!!
> ich habe eine multiple choice frage mit richtig oder
> falsch zu beantworten ,die wie folgt lautet:Eine abzählbare
> menge kann höchstens abzählbar viele häufungspunkte haben.
> [mm]\Box[/mm] r [mm]\Box[/mm] f ?
> ich dachte an die menge der abzählbaren natürlichen zahlen
> aber die haben doch unendlich viele häufungspunkte oder?
Hallo,
was meinst Du denn mit "unendlich viele"?
Ob unendlich viele oder endlich viele, steht auch nicht zur Debatte:
es geht darum, ob eine abzählbare Menge überabzählbar viele Häufungspunkte haben kann.
Zu klären sind erstmal die Begriffe: abzählbar und Häufungspunkt.
Zu Beantwortung der Frage kannst Du dann an [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] denken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 18.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!!
also ich denke die aussage ist richtig weil bespielsweise die menge der natürlichen zahlen eine abzählbare menge ist und die häufungspunkte sind doch einfach alle zahlen der menge [mm] oder?\IR [/mm] ist ja keine abzählbare menge,ich verstehe nicht wie ich das in zusammen bringen soll?wie lauten die häufungspunkte von [mm] \IR?
[/mm]
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
es gibt unterschiedliche Verwendungen des Begriffes Häufungspunkt einer Folge. Manche unterscheiden diese durch Verwendung der Begriffe Häufungswerte und Häufungspunkte, manch andere sagen, dass aus dem Zusammenhang klar sein soll, was jeweils gemeint ist.
Nun mache ich mal was lustiges, ich konstruiere eine Folge, die jede natürliche Zahl als Häufungswert hat:
Das geht zum Beispiel so:
$1$
[mm] $1+\frac{1}{2}$, $2+\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $1+\frac{1}{3}$, $2+\frac{1}{3}$, $3+\frac{1}{3}$
[/mm]
.
.
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und dann setzen wir
[mm] $a_1=1$,
[/mm]
[mm] $a_2=1+\frac{1}{2}$, $a_3=2+\frac{1}{2}$,
[/mm]
[mm] $a_4=1+\frac{1}{3}$, $a_5=2+\frac{1}{3}$, $a_6=3+\frac{1}{3}$
[/mm]
.
.
.
In der so konstruieren Folge kommt für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] und für jedes $N > k$ ($N [mm] \in \IN$) [/mm] ein Glied mit der Darstellung [mm] $k+\frac{1}{N}$ [/mm] vor, so dass wir also zu jedem $k [mm] \in \IN$ [/mm] eine Teilfolge finden können, die gegen $k$ konvergiert.
(Wir brauchen dazu nur in die $k$-te Spalte und $k$-te Zeile dieser "Diagonalmatrix" zu gucken, also alle Eintrage in der $k$-ten Spalte und $N$-ten Zeile für $N [mm] \ge [/mm] k$ zu verfolgen.)
Also ist jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] hier Häufungswert.
Das zum Beispiel mal als Verstädnis zu dem Begriff Häufungswert.
Nun zu Deiner Aufgabe:
Du wirst gelernt haben, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Wenn Du nun eine Abzählung [mm] $\{q_n \in \IQ, n \in \IN\}$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] hernimmst (d.h. [mm] $\{q_n \in \IQ, n \in \IN\}=\IQ$) [/mm] - was geht, weil [mm] $\IQ$ [/mm] abzählbar ist - so kannst Du analog zu oben damit insbesondere eine Folge konstruieren, die jedes $q [mm] \in \IQ$ [/mm] als Häufungswert hat:
[mm] $a_1=q_1$,
[/mm]
[mm] $a_2=q_1+\frac{1}{2}$, $a_3=q_2+\frac{1}{2}$,
[/mm]
[mm] $a_4=q_1+\frac{1}{3}$, $a_5=q_2+\frac{1}{3}$, $a_6=q_3+\frac{1}{3}$
[/mm]
.
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.
(Beachte dabei, dass die Summe zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl ist, so dass [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.)
Weil [mm] $\IQ$ [/mm] aber dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt, hat diese Folge auch jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] als Häufungswert, die Menge der Häufungswerte ist dann [mm] $\IR$, [/mm] also überabzählbar (da [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbat).
Zur Orientierung:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node61.html
Ich benutze den von Dir verwendeten Begriff "Häufungspunkt" hier in dem Sinne, wie in dem obigen Link der Begriff "Häufungswert" definiert wurde, da ich das so kenne. Wenn ihr es anders definiert haben solltet, müßtest Du uns das mitteilen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 19.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel!
danke für die umfangreiche antwort aber so richtig verstanden habe ich es immer noch nicht.dein bespiel mit der folge,deren menge abzählbar ist,wenn ich das soweit richtig verstanden habe,hat abzählbar viele häufungspunkte aber da ja jeder wert nur einmal vorkommt,verstehe ich nicht warum das häufungspunkte sein sollen.ich habe sowieso probleme zu verstehen warum [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist und [mm] \IR [/mm] nicht da man ja fast jede zahl aus [mm] \IR [/mm] als bruch aus [mm] \IQ [/mm] darstellen kann,nur wurzeln zb.nicht.aber [mm] \IR [/mm] enthält beispielsweise 0,999999999... und [mm] \IQ [/mm] doch auch 9999/10000,ist doch eigentlich beides nicht abzählbar oder?
lieben gruß
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> hallo marcel!
> danke für die umfangreiche antwort aber so richtig
> verstanden habe ich es immer noch nicht.dein bespiel mit
> der folge,deren menge abzählbar ist,wenn ich das soweit
> richtig verstanden habe,hat abzählbar viele häufungspunkte
> aber da ja jeder wert nur einmal vorkommt,verstehe ich
> nicht warum das häufungspunkte sein sollen.
Hallo,
ich hatte Dir in meinem Eingangspost gesagt, daß Du erstmal klären mußt, wie Häufungspunkt definiert ist - und das scheinst Du bisher noch nicht getan zu haben.
Es ist sinnlos, über Häufungspunkte zu reden, wenn Du gar nicht weißt, was das ist, und die Mühe, dies in Deinen Unterlagen oder sonstwo nachzuschlagen, möchte ich Dir nicht abnehmen.
In Marcels Beispiel geht es um die Häufungspunkte der Folge [mm] (a_n).
[/mm]
Informieren mußt Du Dich auch, wie Ihr "Häufungspunkte einer Menge" definiert habt.
> ich habe sowieso
> probleme zu verstehen warum [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist und [mm]\IR[/mm] nicht
> da man ja fast jede zahl aus [mm]\IR[/mm] als bruch aus [mm]\IQ[/mm]
> darstellen kann,nur wurzeln zb.nicht.aber [mm]\IR[/mm] enthält
> beispielsweise 0,999999999... und [mm]\IQ[/mm] doch auch
> 9999/10000,ist doch eigentlich beides nicht abzählbar
> oder?
Ich bin mir ganz sicher, daß Ihr das in einer Deiner Vorlesungen gezeigt habt:
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar und [mm] \IR [/mm] ist überabzählbar.
Die Beweise findest Du in der Literatur, Du kannst die Argumente auch hier für \IQ und da für \IR nachlesen.
Für Deine Aufgabe ist wesentlich, daß Du irgendwann gelernt hast, daß es zu jeder reellen Zahl eine rationale Folge gibt, die dagegen konvergiert (jede reelle Zahl ist als endlicher oder unendlicher Bruch zu schreiben.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
ich habe auch explizit da oben von "Häufungswerten" gesprochen und Dir einen Link dazu geschickt, wie ich diesen Begriff verwende.
Es kann, wie gesagt, sein, dass ihr den Begriff "Häufungspunkt einer Folge" anders definiert habt (z.B.:
[mm] $(\*)$ [/mm] Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Folge genau dann, wenn es unendliche viele Folgenglieder gibt, die den Wert des Punktes annehmen).
Dann könnte man dennoch hier sehen, dass man eine Folge konstruieren kann, die jede natürliche Zahl als Häufungspunkt hat (wenn es in diesem Sinne zu verstehen ist):
[mm] $a_1=1$
[/mm]
[mm] $a_2=1$, $a_3=2$
[/mm]
[mm] $a_4=1$, $a_5=2$, $a_6=3$
[/mm]
.
.
.
und analog dann für eine Abzählung [mm] $\{q_n, n \in \IN\}$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] vorgehen:
[mm] $a_1=q_1$
[/mm]
[mm] $a_2=q_1$, $a_3=q_2$
[/mm]
[mm] $a_4=q_1$, $a_5=q_2$, $a_6=_3$
[/mm]
.
.
.
Nur wäre es, wenn der Begriff "Häufungspunkt einer Folge" so zu verstehen ist wie in [mm] $(\*)$, [/mm] dann in der Tat so, dass jede Folge eine höchstens abzählbare Teilmenge von Häufungspunkten hätte, denn für eine jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] wäre - sofern der Begriff in diesem Sinne zu verstehen ist, wie es in [mm] $(\*)$ [/mm] steht - dann die Menge der Häufungspunkte eine Teilmenge von [mm] $\{x_n, n \in \IN\}$ [/mm] und die letzte Menge ist offensichtlich höchstens abzählbar.
Lange Rede, kurzer Sinn:
Beherzige Angela's Ratschlag und gib' uns an, wie ihr den Begriff "Häufungspunkt einer Folge" definiert habt, denn je nach Definition fällt die Antwort anders aus.
Ich habe hier nämlich ein anderes Ergebnis, weil ich hier eine andere Definition des Begriffes "Häufungspunkt einer Folge" zugrundelege, der sich wesentlich von dem in dem anderen Post, wo man halt auch oft lieber "Häufungswert" zu sagt, unterscheidet.
P.S.:
Wenn ihr den Begriff "Häufungspunkt einer Menge" schon definiert habt, so gibt es da gewisse Zusammenhänge. Wenn Du den Begriff schon kennst, so kannst Du uns diesen auch mitteilen, wirklich notwendig erscheint mir das hier allerdings nicht.
Du kannst übrigens auch gerne mal bei Wikipedia reinschauen 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 20.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel!!
wir hatten nur die defintion von häufungspunkte einer folge:Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Folge genau dann, wenn es unendliche(musst das denn unendlich sein?kann es nicht schon ein häufungspunkt sein wenn der wert des punktes nur 3mal vor kommt?) viele Folgenglieder gibt, die den Wert des Punktes annehmen,wir hatten aufgaben wie zb. [mm] (-1)^n [/mm] häufungspunkt ist -1 und 1.unser skript ist nicht ganz so übersichtlich,ich habe eine definition zu häufungspunkten einer menge nicht gefunden.
danke für die hilfe!!!
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
> hallo marcel!!
>
> wir hatten nur die defintion von häufungspunkte einer
> folge:Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Folge genau dann,
> wenn es unendliche(musst das denn unendlich sein?kann es
> nicht schon ein häufungspunkt sein wenn der wert des
> punktes nur 3mal vor kommt?) viele Folgenglieder gibt, die
> den Wert des Punktes annehmen...
okay, wenn man diese Definition zugrundelegt, dann ist die Menge der Häufungspunkte einer Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] immer eine Teilmenge der Menge aller Folgenglieder [mm] $\{x_n, n \in \IN\}$, [/mm] und die letzte Menge ist offensichtlich höchstens abzählbar. Daher ist dann die Menge aller Häufungspunkte einer Folge dann eine Teilmenge einer höchstens abzählbaren Menge, und damit auch selbst höchstens abzählbar (wie in dem anderen Post bereits angedeutet).
Übrigens ist die Frage, ob es nicht reicht, wenn der Wert zum Beispiel nur 3 Mal angenommen wird, ziemlich sinnlos, denn dass das nicht reicht, egibt sich aus der Definition (wenn etwas nur 3 Mal angenommen wird, dann wird es insbesondere nur endlich oft angenommen).
Nehmen wir mal die Folge:
[mm] $a_1=0$, $a_2=2$, $a_n=(-1)^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 3$. Hier sind $-1$ und $1$ die (einzigen) Häufungspunkte:
Zur $-1$: Alle Indizes $n$ mit $n > 2$ und $n$ ungerade erfüllen, dass [mm] $a_n=-1$. [/mm] Es gibt (abzählbar) unendlich viele ungerade natürliche Zahlen $> 2$, also wird der Wert $-1$ von unendlich vielen Folgeglieder angenommen.
(Man könnte natürlich auch mit allen Indizes $n$, $n$ ungerade und $n > 10000$ argumentieren.)
Analog für $1$: Alle Indizes $n > 3$ mit $n$ gerade erfüllen, dass [mm] $a_n=1$, [/mm] und Indizes dieser Art gibt es [mm] $\infty$ [/mm] viele.
Der Wert $0$ wird einzig und allein von einem Folgeglied angenommen, nämlich [mm] $a_1$, [/mm] und ein einziges Folgeglied ist insbesondere eine endliche Anzahl.
Der Wert $2$ wird auch nur von einem Folgeglied, nämlich [mm] $a_2$ [/mm] angenommen.
Und wenn man nun die Folge so abändern würde:
[mm] $a_1=0$, $a_2=2$, $a_3=2$, $a_4=a_5=a_6=0$, $a_7=...=a_{1000}=2$,
[/mm]
[mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] für alle $n > 1000$
so hätte diese Folge dennoch genau die zwei Häufungspunkte $-1$ und $1$.
(Wenn man Eure Definition [mm] $(\*)$ [/mm] aus dem anderen Post zugrundelegt.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 20.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel,
danke ich habe es jetzt verstanden,ist alles schon ziemlich logisch wenn man erstmal eine übersicht bekommen hat.die beispiele haben mir auch sehr geholfen,vielen dank nochmal!
gruß
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