injektive,surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe dieses Aufgabe bereits vor einigen Tagen im Forum gestellt. Die mir damals angebotene Lösung ist jedoch zu kompliziert, wir haben das Thema der Injektivität und Surjektivität gerade erst in der Vorlesung behandelt. Könnt ihr mir eine "einfache" Lösung für diese Aufgabe geben?
a) Zeige: f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung e: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt e(f(x)) = x.
b) Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung d: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle y [mm] \in [/mm] B gilt f(d(y)) = y
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen
Henning
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Henning!
> ich habe dieses Aufgabe bereits vor einigen Tagen im Forum
> gestellt. Die mir damals angebotene Lösung ist jedoch zu
> kompliziert, wir haben das Thema der Injektivität und
> Surjektivität gerade erst in der Vorlesung behandelt. Könnt
> ihr mir eine "einfache" Lösung für diese Aufgabe geben?
Ich verstehe zwar nicht, warum die andere Lösung zu kompliziert war (Hanno, der die Lösung gegeben hat, geht in die 12. Klasse und hat das Thema selber gerade erst gelernt), aber nun gut, ich will es noch einmal einfacher versuchen zu erklären:
> a) Zeige: f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung
> e: B [mm]\to[/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle
> x [mm]\in[/mm] A gilt e(f(x)) = x.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Ist $f$ injektiv, dann gibt es für alle $y [mm] \in [/mm] B$ höchstens ein [mm] $x_y \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x_y)=y$. [/mm] Weiterhin sei [mm] $x_0 \in [/mm] A$ beliebig gewählt. Dann definieren wir:
$e [mm] \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} B & \to & A \\[5pt] x & \mapsto & \left\{ {x_y , \ \mbox{\scriptsize falls es ein} \ x_y \in A \ \mbox{\scriptsize gibt mit}\ f(x_y)=x} \atop {\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x_0 , \ \mbox{\scriptsize sonst}} \right. \end{array}$.
[/mm]
Nach Konstruktion von $e$ gilt dann für alle $y [mm] \in [/mm] B$ gerade
$e(f(x)) = [mm] e(x_{f(x)}) [/mm] = x$.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Aus $f(x) = f(y)$ folgt: $x = e(f(x)) = e(f(y)) = y$, d.h. $f$ ist injektiv.
> b) Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine
> Abbildung d: B [mm]\to[/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft
> genügt: Für alle y [mm]\in[/mm] B gilt f(d(y)) = y
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Ist $f$ surjektiv, dann gibt es für alle $y [mm] \in [/mm] B$ mindestens ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit $f(x)=y$. Für jedes $x$ wählen wir ab nun ein solches [mm] $x_y \in f^{-1}(\{y\})$ [/mm] fest aus. Dann definieren wir:
$d [mm] \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} B & \to & A \\[5pt] y & \mapsto & x_y \end{array}$.
[/mm]
Nach Konstruktion von $d$ gilt dann für alle $y [mm] \in [/mm] B$ gerade
$f(d(y)) = [mm] f(x_y) [/mm] = y$.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Ist $y [mm] \in [/mm] B$ fest gewählt, dann gilt mit $x:=d(y) [mm] \in [/mm] A$:
$f(x) = f(d(y)) = y$.
Daher ist $f$ surjektiv. (Wir haben zu jedem $y [mm] \in [/mm] B$ ein $x [mm] \in [/mm] A$ gefunden mit $f(x)=y$.)
Das war jetzt mehr oder weniger genau Hannos Lösung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 20.10.2004 | | Autor: | xantic_22 |
Hallo Stefan,
vielen Dank das du dir die Mühe gemacht hast und mir die Vorgehensweise "einfacher" aufgeschrieben hast. Die Lösung von Hanno habe ich verstanden, es war mehr ein formelles Problem wie der Beweis aufgeschrieben ist. Mein Professor ist sehr eigen in Hinsicht auf die Schreibweise. Nochmals vielen Dank für deine Mühen.
Mit freundlichen Grüßen
Henning
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