partielle Abl.verschwinden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Sei {} [mm] \not= [/mm] A Teilmenge des [mm] R^n [/mm] offen und beschränkt und f: [mm] \overline{A} [/mm] -> R eine auf [mm] \overline{A} [/mm] stetige und auf A partiell diffbare Funktion, die auf dem Rand von A verschwindet. Dann gibt es einen Punkt x aus A, in dem alle partiellen Ableitungen verschwinden. |
Hi again!
Bei dieser Aufgabe bin ich leider auch noch nicht weitergekommen... ist so arg theoretisch...
ich mein stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen wirklich ihr Max und Min an, aber hilft das weiter?
wenn die Ableitungen auf dem Rand von A verschwinden, bedeutet das, dass x auch auf dem Rand von A liegen muss?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Sa 10.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Da steht, dass die Funktion am Rand verschwindet, d.h.=0 ist. dann kann sie überall verschwinden, dann gilt der Satz, oder nicht überall dann... bist du wieder dran.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi leduart!!
hmm... dann gibt es keinen punkt x aus A indem alle partiellen ableitungen verschwinden?
aber ich mein wenn sie nicht überall verschwindet, kann sie am rand ja trotzdem noch verschwinden, oder??
viele grüße
riley :)
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Hallo Riley,
> hmm... dann gibt es keinen punkt x aus A indem alle
> partiellen ableitungen verschwinden?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wer sagt das?
Zunächst war [mm]f(x)=0 \forall x \in A[/mm]
Das ist abgehakt.
Jetzt kommt [mm]\exists x\in A f(x)\not= 0[/mm]
> aber ich mein wenn sie nicht überall verschwindet, kann
> sie am rand ja trotzdem noch verschwinden, oder??
Der Rand gehört nicht zu A dazu das bringt Dich also nicht weiter.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
ich wünschte ich hätte ein bissle was von eurem mathe-verständnis...!!
achso,... aber [mm] \overline{A} [/mm] sind doch die Berührpunkte, also inneren und Randpunkte von A, gell? und f ist auf den Randpunkten stetig, nur auf den inneren Pkt partiell diffbar und auf dem Rand ist f(x) = 0. und beh ist dass es dann schon einen inneren Punkt von A gibt, in dem alle part. Abl. verschwinden, hab ich die Aufgabe soweit richtig verstanden?
okay, wenn f(x) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A sowieso schon gilt, dann sind auch die partiellen Abl null. der "triviale fall", oder? 
soweit komm ich mit.
hm, bei x [mm] \in [/mm] A mit f(x) [mm] \not= [/mm] 0, muss ich dann zeigen, dass dann trotzdem die partielle Abl. von einem Punkt = 0 ist? ... vielleicht wegen dem Argument dass stetige Fkt f(x) auf einer kompakten Menge [mm] (\overline{A} [/mm] ist beschränkt und abgeschlossen) ihr Max oder Min annimmt, und damit muss ja dann f'(x) = 0 sein. Stimmt dieser Gedanke? und wie formuliert man das mathematisch korrekt???
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> achso,... aber [mm]\overline{A}[/mm] sind doch die Berührpunkte,
> also inneren und Randpunkte von A, gell? und f ist auf den
> Randpunkten stetig, nur auf den inneren Pkt partiell
> diffbar und auf dem Rand ist f(x) = 0. und beh ist dass es
> dann schon einen inneren Punkt von A gibt, in dem alle
> part. Abl. verschwinden, hab ich die Aufgabe soweit richtig
> verstanden?
>
> okay, wenn f(x) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A sowieso schon gilt,
> dann sind auch die partiellen Abl null. der "triviale
> fall", oder?
> soweit komm ich mit.
>
> hm, bei x [mm]\in[/mm] A mit f(x) [mm]\not=[/mm] 0, muss ich dann zeigen,
f(x) nicht die 0 Fkt.
> dass dann trotzdem die partielle Abl. von einem Punkt = 0
> ist? ... vielleicht wegen dem Argument dass stetige Fkt
> f(x) auf einer kompakten Menge [mm](\overline{A}[/mm] ist beschränkt
> und abgeschlossen) ihr Max oder Min annimmt,
Warum oder? es heisst und. aber das kann ja auch auf dem Rand sein!
>und damit muss
> ja dann f'(x) = 0 sein. Stimmt dieser Gedanke? und wie
> formuliert man das mathematisch korrekt???
Das formulier mal lieber selbst! Satz zitieren,zeigen dass die Vors des Satzes gelten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 11.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Danke für deine Antwort.
der Satz aus unsrem Skript: " Jede auf einer nichtleeren kompakten Menge D aus [mm] R^n [/mm] definierte reellwertige und stetige Funktion ist beschränkt und nimmt auf D ihr Maximum [mm] \underline{und} [/mm] (du hast natürlich recht) Minimum an."
aber ich check das trotzdem noch nicht. warum kann es auch auf dem Rand sein, ich dachte der gehört nicht zu A ??
voraussetzungen sind dass [mm] \overline{A} [/mm] nichtleer und kompakt ist und f muss stetig und beschränkt sein.
aber wie ich den beweis zusammenbasteln sollte, ist mir noch nicht klar...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> der Satz aus unsrem Skript: " Jede auf einer nichtleeren
> kompakten Menge D aus [mm]R^n[/mm] definierte reellwertige und
> stetige Funktion ist beschränkt und nimmt auf D ihr Maximum
> [mm]\underline{und}[/mm] (du hast natürlich recht) Minimum an."
> aber ich check das trotzdem noch nicht. warum kann es auch
> auf dem Rand sein, ich dachte der gehört nicht zu A ??
Natuerlich kann die Funktion Minimum und Maxmum auch auf [mm] $\partial [/mm] A$ annehmen. Nur, wenn sie beides schon dort annimmt (bedenke, die Funktion ist auf dem Rand konstant 0), ist sie schon ueberall konstant 0. Aber den Fall hatten wir ganz am Anfang schon ausgeschlossen.
Also wird entweder das Minimum oder das Maximum an mindestens einer Stelle in $A$ angenommen. (Eins von beiden reicht. Beide brauchst du nicht.)
Ein Hinweis noch zur Aufgabe: Im Mehrdimensionalen hast du nicht $f'$, sondern den Gradient (bzw. die Jacobimatrix wenn die Funktion nicht nach [mm] $\IR$, [/mm] sondern [mm] $\IR^k$ [/mm] geht). Also musst du zeigen, dass der Gradient an einer Stelle komplett 0 wird. Was weisst du ueber das Verhalten des Gradients in Minima und Maxima?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 11.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!
Danke für deine Erklärungen...
>>Ein Hinweis noch zur Aufgabe: Im Mehrdimensionalen hast du nicht , f'(x)sondern den Gradient f (bzw. die Jacobimatrix wenn die Funktion nicht nach , sondern geht). Also musst du zeigen, dass der Gradient an einer Stelle komplett 0 wird. Was weisst du ueber das Verhalten des Gradients in Minima und Maxima?<<
Eigentlich weiß ich von dem Gradient nur dass er bei Min oder Max Null ist, aber das hast du ja auch schon geschrieben ??
wie kann ihc denn zeigen, dass der gradien null wird, wo ich die funktion ja gar nicht habe??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Jetzt hast Du also ein Minimum oder ein Maximum innerhalb von A.
> wie kann ihc denn zeigen, dass der gradien null wird, wo
> ich die funktion ja gar nicht habe??
> Eigentlich weiß ich von dem Gradient nur dass er bei Min
> oder Max Null ist, aber das hast du ja auch schon
> geschrieben.
Ich hab mal bei Deiner Aussage einen Punkt gesetzt. Vllt. solltest Du analog noch den entsprechenden satz aus der Vorlesung raussuchen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für deine hilfe!
hm, wir ham das aber nur so kompliziert aufgeschrieben, aber ich zitiere unser Skript:
"Die Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle x aus [mm] R^n [/mm] zweimal stetig diffbar. Hat d an der Stelle x ein relatives Maximum (Minimum), so verschwinden dort alle ersten partiellen Ableitungen und die quadratische Form [mm] Q(y_1,..., y_n) [/mm] ist negativ (positiv) semidefinit. "
ist das schon alles was ich für den beweis brauche?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Treffen denn die Voraussetzungen des Satzes auf deine Aufgabe zu? Welche Voraussetzungen sind das? Gibt es andere Aussagen(Sätze ) aus der Vorlesung mit anderen Voraussetzungen?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
die voraussetzung dass f zweimal stetig diffbar ist, ist glaub ich nicht ganz erfüllt, da unser f aus der aufgabe ja nur partiell diffbar ist...
neh, wir ham dazu leider keinen andren satz..., hab unser skript nochmal durchsucht... ;(
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> die voraussetzung dass f zweimal stetig diffbar ist, ist
> glaub ich nicht ganz erfüllt, da unser f aus der aufgabe ja
> nur partiell diffbar ist...
Der Satz ist also nicht anwendbar.
> neh, wir ham dazu leider keinen andren satz..., hab unser
> skript nochmal durchsucht... ;(
In dem Fall hast Du Pech und mußt es wohl selbst zeigen oder Literatur bemühen.
Der ungefähre Weg könnte sein:
Nimm an es gibt ein Maximum in x(Was bedeutet f(x)>f(y) für alle y in einer epsilon Umgebung von x) und gleichzeitig das eine partielle Ableitung ungleich Null ist z.B. größer Null und führe das zu einem Widerspruch.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für den tipp... also müsste ich annehmen:
f(x) > f(y) [mm] \forall [/mm] y mit |y-x| [mm] \le \epsilon [/mm] und gleichzeitig [mm] \bruch{df}{dx}>0 [/mm] ?
ich hab in nem buch den beweis gefunden: extremwert [mm] \Rightarrow [/mm] grad f = 0. das wird über die funktion g(t) = f(x + t h ) gezeigt, hast du das gemeint?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> danke für den tipp... also müsste ich annehmen:
> f(x) > f(y) [mm]\forall[/mm] y mit |y-x| [mm]\le \epsilon[/mm] und
> gleichzeitig [mm]\bruch{df}{dx}>0[/mm] ?
> ich hab in nem buch den beweis gefunden: extremwert
> [mm]\Rightarrow[/mm] grad f = 0. das wird über die funktion g(t) =
> f(x + t h ) gezeigt, hast du das gemeint?
Genau das meinte ich und das wäre ja wenn in diesem Buch keine weiteren Voraussetzungen an die Funktion gemacht werden genau das was Du brauchst oder?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
okay danke dir für deine hilfe... bin mir noch nicht sicher wie das mit den sätzen funktioniert, aber ist schon mal ein guter anfang ;)
viele grüße
riley
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