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Übung: Anal. Geometrie: Übungsaufgabe (aktuell)
Status: (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe Status (unbefristet) 
Datum: 21:38 Mi 15.02.2006
Autor: informix

Aufgabe

Gegeben seien die Ebene [mm] E_1 [/mm] mit [mm] $2x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 21$ und die Punkte A(2/1/1), B(1/0/-1) und C(3/2/-1).

1. Bestimmen Sie die Koordinatenform der Ebene [mm] E_2, [/mm] die durch die Punkte A, B und C bestimmt wird.

2. Zeigen Sie, dass sich die beiden Ebenen schneiden und bestimmen Sie die Schnittgerade s von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2. [/mm]

3. Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Schnittgeraden s mit der 1-3-Ebene.
   (die 1-3-Ebene ist die Ebene, die von der 1. und 3. Koordinatenachse aufgespannt wird.)

4. Berechnen Sie die Entfernung der Ebene [mm] E_1 [/mm] vom Punkt A.

5. Der Punkt A (2/1/1) ist der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius r = 3.

Zeigen Sie, dass die Kugel die Ebene [mm] E_1 [/mm] schneidet und stellen Sie die Gleichung des Schnittkreises auf.



        
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 So 02.04.2006
Autor: Blacky

Gutentag,

2.1.
Die Ebene wird durch die linear unabhängigen Vektoren  [mm] \vec{x}_b-\vec{x}_a [/mm] und [mm] \vec{x}_c-\vec{x}_a [/mm] aufgespannt.

[mm] \vec{x}_b-\vec{x}_a =\vektor{-1 \\ -1 \\ -2} [/mm] ; [mm] \vec{x}_c-\vec{x}_a=\vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm]

[mm] \vec{n}=\vektor{-1 \\ -1 \\ -2} \times\vektor{1 \\ 1 \\ -2}=\vektor{4 \\ -4 \\ 0} [/mm] ; gekürzt: [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]

Durch Einsetzen von A erhält man [mm] E_2: x_1-x_2=1 [/mm]

2.2

[mm] \vec{n}_1=\vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm] ; [mm] \vec{n}_2=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]

Da kein [mm] k\in \IR [/mm] existiert mit [mm] k\vektor{2 \\ -3 \\ 6}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] sind [mm] \vec{n}_1 [/mm] und [mm] \vec{n}_2 [/mm] linear unabhängig. Folglich schneiden sich [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] in einer Geraden.

So, jetzt hatte ich es etwas mühsam da wir Schnittgeraden immer nur mit 2 Parametergleichungen der Ebenen berechnet haben. Deshalb musste ich erstmal  beide Ebenen in Parameterform umrechnen und dann gleichsetzen. Wenn ich nämlich die Koordinatenform gleichsetze bekomme ich ja nur eine neue Ebene, was sinnlos wäre. Im Buch war das sehr kurz und "häßlich" erklärt wie man die Schnittgerade bei 2 in der Koordinatenform vorliegenden Ebenen berechnet. Könntest du mir das nochmal kurz näher bringen?

Durch das Gleichsetzen der Parametergleichungen habe ich heraus:

[mm] s:\vec{x}=\vektor{\bruch{36}{11} \\ \bruch{25}{11} \\ \bruch{39}{11}} +k\vektor{6 \\ 6 \\ 1} [/mm]

Dann habe ich mich noch an dem Beispiel aus dem Buch entlang gehangelt und es mit der Koordinatenform versucht und folgendes heraus:
[mm] s:\vec{x}=\vektor{-18 \\ -19 \\ 0} +k\vektor{6 \\ 6 \\ 1} [/mm]
Wirklich verstanden wie das logisch geht und alleine reproduzieren kann ichs jedoch nicht.

2.3.

E_13: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Gleichgesetzt mit der Geraden bekomme ich als Schnittpunkt [mm]S=(1 | 0 | \bruch{19}{6})[/mm]

2.4.
Lotgerade
g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm]
mit Stützvektor A und Richtungsvektor [mm] \vec{n}_1 [/mm]
Den Schnittpunkt mit [mm] E_1 [/mm] habe ich wieder per Parameterform bestimmt.
[mm] \vec{x}_s=\vektor{\bruch{18}{7} \\ \bruch{1}{7} \\ \bruch{19}{7}} [/mm]
Betrag des Verbindungsvektors = Abstand
[mm] |\vec{x}_a-\vec{x}_s|=2 [/mm]

2.5.
Mit Kugeln und Schnittkreisen kenne ich mich nicht aus :)

mfg blacky


Bezug
                
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mi 05.04.2006
Autor: Sigrid

Hallo blacky,

> 2. Gegeben seien die Ebene  mit  [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 21 und die Punkte A(2/1/1),
> B(1/0/-1) und C(3/2/-1).
> 2.1 Bestimmen Sie die Koordinatenform der Ebene  die durch
> die Punkte A, B und C bestimmt wird.
> 2.2 Zeigen Sie, dass sich die beiden Ebenen schneiden und
> bestimmen Sie die Schnittgerade s von  und
> 2.3 Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Schnittgeraden s
> mit der 1-3-Ebene.
> 2.4 Berechnen Sie die Entfernung der Ebene  vom Punkt A.
> 2.5 Der Punkt A (2/1/1) ist der Mittelpunkt einer Kugel mit
> Radius r = 3.
> Zeigen Sie, dass die Kugel die Ebene  schneidet und stellen
> Sie die Gleichung des Schnittkreises auf.
>
> Gutentag,
>  
> 2.1.
>  Die Ebene wird durch die linear unabhängigen Vektoren  
> [mm]\vec{x}_b-\vec{x}_a[/mm] und [mm]\vec{x}_c-\vec{x}_a[/mm] aufgespannt.
>  
> [mm]\vec{x}_b-\vec{x}_a =\vektor{-1 \\ -1 \\ -2}[/mm] ;
> [mm]\vec{x}_c-\vec{x}_a=\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>  
> [mm]\vec{n}=\vektor{-1 \\ -1 \\ -2} \times\vektor{1 \\ 1 \\ -2}=\vektor{4 \\ -4 \\ 0}[/mm]
> ; gekürzt: [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>  
> Durch Einsetzen von A erhält man [mm]E_2: x_1-x_2=1[/mm]

[ok]

>  
> 2.2
>  
> [mm]\vec{n}_1=\vektor{2 \\ -3 \\ 6}[/mm] ; [mm]\vec{n}_2=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>  
> Da kein [mm]k\in \IR[/mm] existiert mit [mm]k\vektor{2 \\ -3 \\ 6}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> sind [mm]\vec{n}_1[/mm] und [mm]\vec{n}_2[/mm] linear unabhängig. Folglich
> schneiden sich [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] in einer Geraden.

[ok]

>  
> So, jetzt hatte ich es etwas mühsam da wir Schnittgeraden
> immer nur mit 2 Parametergleichungen der Ebenen berechnet
> haben. Deshalb musste ich erstmal  beide Ebenen in
> Parameterform umrechnen und dann gleichsetzen. Wenn ich
> nämlich die Koordinatenform gleichsetze bekomme ich ja nur
> eine neue Ebene, was sinnlos wäre. Im Buch war das sehr
> kurz und "häßlich" erklärt wie man die Schnittgerade bei 2
> in der Koordinatenform vorliegenden Ebenen berechnet.
> Könntest du mir das nochmal kurz näher bringen?
>  
> Durch das Gleichsetzen der Parametergleichungen habe ich
> heraus:
>  
> [mm]s:\vec{x}=\vektor{\bruch{36}{11} \\ \bruch{25}{11} \\ \bruch{39}{11}} +k\vektor{6 \\ 6 \\ 1}[/mm]
>  
> Dann habe ich mich noch an dem Beispiel aus dem Buch
> entlang gehangelt und es mit der Koordinatenform versucht
> und folgendes heraus:
>  [mm]s:\vec{x}=\vektor{-18 \\ -19 \\ 0} +k\vektor{6 \\ 6 \\ 1}[/mm]
> Wirklich verstanden wie das logisch geht und alleine
> reproduzieren kann ichs jedoch nicht.
>  

Du hast ja diese Umformung:

[mm] 2\ x_1 - 3\ x_2 + 6\ x_3 = 21\\ \wedge\\ x_1 - x_2 = 2 [/mm]

[mm] \gdw x_1 = 6\ x_3 - 18\\ \wedge\\ x_2 = 6\ x_3 - 19 [/mm]

d.h. du kannst [mm] x_3 [/mm] beliebig wählen und dann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] berechnen. Wenn du jetzt [mm] x_3 [/mm] = k wählst, erhälst du

[mm] \vec{x}\ =\ \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\ = \vektor{-18 + 6\ k \\ -19 + 6\ k\\k}\ [/mm]

[mm] \gdw\ \vec{x}\ =\ \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\ = \vektor{-18 \\ -19 \\0}\ + k\ \vektor{ 6 \\ 6\\1}\ [/mm]

Reicht das? Sonst frage bitte nach.

Du kannst übrigens auch nur eine Geleichung un Parameterform umformen und dann die Terme für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] in die Koordinatenform der anderen Ebene einsetzen.

> 2.3.
>  
> E_13: [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Gleichgesetzt mit der Geraden bekomme ich als Schnittpunkt
> [mm]S=(1 | 0 | \bruch{19}{6})[/mm]

[ok]

>  
> 2.4.
>  Lotgerade
>  g: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{2 \\ -3 \\ 6}[/mm]
>  
> mit Stützvektor A und Richtungsvektor [mm]\vec{n}_1[/mm]
> Den Schnittpunkt mit [mm]E_1[/mm] habe ich wieder per Parameterform
> bestimmt.
>  [mm]\vec{x}_s=\vektor{\bruch{18}{7} \\ \bruch{1}{7} \\ \bruch{19}{7}}[/mm]
>  
> Betrag des Verbindungsvektors = Abstand
>  [mm]|\vec{x}_a-\vec{x}_s|=2[/mm]

[ok] Ihr habt wohl die Hesse-Normalenform der Ebenengleichung noch nicht gehabt. Damit ginge es noch etwas schneller.

Gruß
Sigrid

>  
> 2.5.
>  Mit Kugeln und Schnittkreisen kenne ich mich nicht aus :)
>  
> mfg blacky
>   disabled

Bezug
                        
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mi 05.04.2006
Autor: Blacky

Vielen Dank fürs Durchsehen.

mfg blacky

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Übung: Anal. Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Mi 19.04.2006
Autor: Razortazor

Hallo

Also ich habe 2.2 versucht zu lösen indem ich

ersteinmal die Paramtergleichung aufgestellt habe:

[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]

die habe ich dann nach  [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und  [mm] x_{3} [/mm] aufgesplittet und in die gegebene Koordinatengleichung eingesetzt.

Das sah dann so aus:

2*(2+r-s)-3*(1+r-s)+6*(1-2r-2s)=21

Da hab ich dann raus (-14/13)-s=r

Wenn ich das dann aber in die Parametergleichung einsetze ist das Ergebnis sehr viel anders als euers...

Seht ihr meinen Fehler oder meine Fehler?

Vielen Dank schonMal

Grüße


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Übung: Anal. Geometrie: (mehrere) Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:31 Do 20.04.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Razortazor!


Bei Dir haben sich jeweils bei den [mm] $x_3$-Koordinaten [/mm] der beiden Richtungsvektoren Vorzeichenfehler eingeschlichen.

Es muss heißen:  [mm]E_2 \ : \ \vec{x} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \red{+}2 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ \red{+}2 \end{pmatrix}[/mm]


Gruß
Loddar


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Übung: Anal. Geometrie: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:03 Mi 19.04.2006
Autor: Genuin

Aufgabe
2.5 Der Punkt A (2/1/1) ist der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius r = 3.
Zeigen Sie, dass die Kugel die Ebene  schneidet und stellen Sie die Gleichung des Schnittkreises auf.

Ich komme auf einen Radius des Schnittkreises von  [mm] \wurzel{5} [/mm]

Rechnung:
[mm] \overrightarrow{n}= \vektor{2\\-3\\6} [/mm] A(2/1/1)=Mittelpunkt

Abstand der Ebene  vom Mittelpunkt:
[mm] a_{k}= \bruch{ |\overrightarrow{n}*A - d|}{|\overrightarrow{n}|}=\bruch{ |4-3+6-21|}{| \wurzel{4+9+36}|}=\bruch{ |-14|}{| 7|}=2 [/mm]

[mm] a_{k}= \wurzel{3²-2²}=\wurzel{5} [/mm]

Und wie gebe ich nun die Kreisgleichung an?
in meiner Formelsamlung steht für die Kreis und die Kugelgleichung die selbe Gleichung, aber das kann ja nicht sein.
[mm] r²=(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})² [/mm]

danke für eure Hilfe schon mal im vorraus

Bezug
                        
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Links
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:43 Do 20.04.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Genuin!


> Und wie gebe ich nun die Kreisgleichung an?
> in meiner Formelsamlung steht für die Kreis und die
> Kugelgleichung die selbe Gleichung, aber das kann ja nicht
> sein.

Ein Kreis im Raum hat 2 Gleichungen: eine Kugelgleichung, und eine Ebenengleichung für die Ebene in der sich der Kreis befindet.

[guckstduhier] . . . . https://matheraum.de/read?i=19849


Oder alternativ (aber in Parameter-Darstellung): []Kreise im Raum


Gruß
Loddar


Bezug
        
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Übung: Anal. Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mi 12.04.2006
Autor: DerVogel

2.1) $ [mm] E_2 [/mm] $ bestimmen, indem ich den Normalenvektor der [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] mit einem Punkt, Bsp. A multipliziere. Ergebnis: 3
[mm] E_{2}: x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 1

2.2) Beide Gleichungen nach z.B. [mm] x_{3} [/mm] lösen. [mm] x_{2} [/mm] gleich t setzen. Dann erhält man einen Lösungsvektor: [mm] \vektor{1+t \\ t \\ \bruch{7}{2} + \bruch{2}{3} * t } [/mm]
Daraus bildet man die Geradengleichung: g:  [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{7}{2}} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{2}{3}} [/mm]

2.3) Was ist eine 1-3-Ebene? Habe ich noch nie gehört.

2.4) Abstand ist | [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ \bruch{6}{7}} [/mm] | = 2

2.5) Gerade durch A und [mm] \vec{n} [/mm] als Richtung.
g:  [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm]
[mm] E_{1} [/mm] mit g schneiden. Dann g mit [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{7} [/mm] berechnen. Dort ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. M = [mm] (\bruch{18}{7} [/mm] | [mm] \bruch{1}{7} [/mm] | [mm] \bruch{19}{7} [/mm] )
Der Radius beträgt  [mm] \wurzel{ 3^{2} - 2^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm]
Ich denke, das müsste alles richtig sein. :-)

Bezug
                
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: (Teil-)Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Do 13.04.2006
Autor: Loddar

Hallo DerVogel!


> 2.1) [mm]E_2[/mm] bestimmen, indem ich den Normalenvektor der [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] mit einem Punkt, Bsp. A
> multipliziere. Ergebnis: 3

Hier meinst du doch sicher $1_$ , oder? Schließlich hast Du das auch unten in der Ebenengleichung.


> [mm]E_{2}: x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] = 1

[ok]


> 2.2) Beide Gleichungen nach z.B. [mm]x_{3}[/mm] lösen.

[haee]
Wie willst Du denn [mm] $E_2$ [/mm] nach [mm] $x_3$ [/mm] auflösen, wenn dieser Wert dort gar nicht vorkommt. Da musst Du Dir also schon [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] aussuchen ...


> [mm]x_{2}[/mm] gleich t setzen. Dann erhält man einen Lösungsvektor: [mm]\vektor{1+t \\ t \\ \bruch{7}{2} + \bruch{2}{3} * t }[/mm]

Der stimmt dann auch nicht ... als Richtungsvektor der Schnittgeraden erhalte ich (entsprechend erweitert, siehe auch oben):

[mm] $\vec{r}_s [/mm] \ = \ [mm] \vektor{6\\6\\1}$ [/mm]



> Daraus bildet man die Geradengleichung: g:  [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{7}{2}}[/mm] + t * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]

[notok] Folgefehler ...



> 2.3) Was ist eine 1-3-Ebene? Habe ich noch nie gehört.

Damit ist die Ebene gemeint, die durch die beiden Koordinatenachsen der [mm] $x_{\red{1}}$- [/mm] und [mm] $x_{\red{3}}$-Komponenten [/mm] aufgespannt wird.

Diese Ebene wird sonst auch im [mm] $\IR^3$ [/mm] als $x/z_$-Ebene bezeichnet.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: (Rest-)Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Do 13.04.2006
Autor: Loddar

Hallo DerVogel!


> 2.4) Abstand ist | [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ \bruch{6}{7}}[/mm] |  = 2

[ok]

  

> 2.5) Gerade durch A und [mm]\vec{n}[/mm] als Richtung.  g:  [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 6}[/mm]
> [mm]E_{1}[/mm] mit g schneiden.

> Dann g mit [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\bruch{2}{7}[/mm] berechnen.

Du meinst hier aber [mm] $\red{t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{7}$ [/mm] , oder?


> Dort ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. M = [mm](\bruch{18}{7}[/mm] | [mm]\bruch{1}{7}[/mm] | [mm]\bruch{19}{7}[/mm] )
>  Der Radius beträgt  [mm]\wurzel{ 3^{2} - 2^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]

[ok]


Und wie lautet dann die entsprechende Kreisgleichung?


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Do 13.04.2006
Autor: DerVogel

Hallo nochmal,

2.1) Ja, natürlich habe ich 1 raus. Vertippt.

2.2) [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3}=21 \cap x_{1}-x_{2}=1 [/mm]

[mm] x_{2} [/mm] = -18 + 6 * [mm] x_{3} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = -19 + 6 * [mm] x_{3} [/mm]

Sei [mm] x_{3} [/mm] = t

[mm] \vektor{-18 + 6\ t \\ -19 + 6\ t \\ t} [/mm]

Daraus folgt:

g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-18 \\ -19 \\ 0 } [/mm] + t * [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 1 } [/mm]

2.3) Ebenengleichung: [mm] x_{2} [/mm] = 0

Gerade g in Ebenengleichung [mm] x_{2} [/mm] = 0 einsetzen:
-19 + 6t = 0, folglich ist t = [mm] \bruch{19}{6} [/mm]
Dann t in g einsetzen: g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-18 \\ -19 \\ 0 } [/mm] + [mm] \bruch{19}{6} [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 1 } [/mm]
Nun erhält man den Schnittpunkt S = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{19}{6}} [/mm]

2.5) ich meinte t = [mm] \bruch{2}{7} [/mm]
Wir hatte nie eine wirkliche Kreisgleichung. Mein Lehrer meinte, bei einem Kreis muss man nur die Ebene, den Radius und den Mittelpunkt angeben.

Vielen Dank für's korrigieren!

Bezug
                                
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Sieht gut aus ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Sa 15.04.2006
Autor: Loddar

Hallo DerVogel!


> 2.1) Ja, natürlich habe ich 1 raus. Vertippt.

[ok] Okay.


> 2.2) [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}=21 \cap x_{1}-x_{2}=1[/mm]
>  
> [mm]x_{2}[/mm] = -18 + 6 * [mm]x_{3}[/mm]

Und wieder Tippfehler: [mm] $x_{\red{1}} [/mm] \ = \ ...$


> [mm]x_{2}[/mm] = -19 + 6 * [mm]x_{3}[/mm]

[ok]



> Sei [mm]x_{3}[/mm] = t
>  
> [mm]\vektor{-18 + 6\ t \\ -19 + 6\ t \\ t}[/mm]
>  
> Daraus folgt:  g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-18 \\ -19 \\ 0 }[/mm] + t * [mm]\vektor{6 \\ 6 \\ 1 }[/mm]

[ok]

  

> 2.3) Ebenengleichung: [mm]x_{2}[/mm] = 0
>  
> Gerade g in Ebenengleichung [mm]x_{2}[/mm] = 0 einsetzen:
> -19 + 6t = 0, folglich ist t = [mm]\bruch{19}{6}[/mm]
> Dann t in g einsetzen: g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-18 \\ -19 \\ 0 }[/mm] + [mm]\bruch{19}{6}[/mm] * [mm]\vektor{6 \\ 6 \\ 1 }[/mm]
> Nun erhält man den Schnittpunkt S = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{19}{6}}[/mm]

[ok]



> 2.5) ich meinte t = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]

Fein!


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Übung: Anal. Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Sa 15.04.2006
Autor: DerVogel

Danke, so kann ich sicher ins Abi gehen :-)

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Übung: Anal. Geometrie: Viel Erfolg!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Sa 15.04.2006
Autor: Loddar

Hallo DerVogel!


Da drücke ich doch beide [daumenhoch] [daumenhoch] und sage viel [kleeblatt] !!

Wann ist es soweit?


Gruß
Loddar


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Übung: Anal. Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Sa 15.04.2006
Autor: DerVogel

Vielen Dank :-)
Mathe ist am 4.5. "dran". Allerdings gibt es ja auch ncoh andere Klausuren, für die man lernen muss........

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Übung: Anal. Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Sa 15.04.2006
Autor: Genuin

Aufgabe
2.2 Zeigen Sie, dass sich die beiden Ebenen schneiden und bestimmen Sie die Schnittgerade s von E1 und E2

Bin noch nue hier,also bitte verzeiht mir wenn ich nicht alles richtig in grafiken poste

Nun zu meiner Frage zur bildung der Schnittgerade

ich habe doch folgende Gleichungen:
E1 = 2x1-3x2+6x3 = 21
E2 = x1-x2=1
Dann sage ich anhand von E2:
x2 = t
x1 = 1+t

Setze das in E1 ein:
2 + 2t - 3t + 6x3 = 21 | -2
- t + 6x3 = 19 | +t | :6
x3 =  [mm] \bruch{19}{6} [/mm] +  [mm] \bruch{t}{6} [/mm]

daraus folgt:
[mm] \vektor{x1 \\ x2\\ x3} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 1\\ \bruch{19}{6}} [/mm] + t [mm] \vektor{1\\ 1\\ \bruch{1}{6}} [/mm]

und das ist irgendwie anders als eure schnittgerade. Hab ich mich nun irgendwo verrechnet?


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Übung: Anal. Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 15.04.2006
Autor: DerVogel

Hallo,
ich versuche mal dir zu antworten. Du hast dich nicht verrechnet, du hast nur ein falsches Lösungsverfahren angewandt.
Habt ihr das Gauß'sche Lösungsverfahren in der Schule kennengelernt? Danach kann man die Gleichungen ganz einfach lösen:
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2}+6x_{3} [/mm] = 21   | :2
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 1

[mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x_{2}+3x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{21}{2} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 1

Nun die zweite Gleichung von der ersten Abziehen:
Dann bleibt:
- [mm] \bruch{1}{2}x_{2}+3x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{19}{2} [/mm]   |*2
[mm] -x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 19    |- [mm] 6x_{3} [/mm]
[mm] -x_{2} [/mm] = 19 - [mm] 6x_{3} [/mm]     |*(-1)
[mm] x_{2} [/mm] = -19 + [mm] 6x_{3} [/mm]
Nun hast du die [mm] x_{2}-Komponente [/mm] des Lösungsvektors.
Für die [mm] x_{1}-Komponente [/mm] musst du -19 + [mm] 6x_{3} [/mm] in [mm] E_{2} [/mm] einsetzen und nach [mm] x_{1} [/mm] lösen.
Dann erhältst du:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -18+6x_{3} [/mm]

Jetzt sagst du, dass [mm] x_{3} [/mm] = t sei.
Dann ist der Lösungsvektor:
[mm] \vektor{-18+6t \\ -19+6t \\ t } [/mm]
Den kann man dann noch in die Geradenform umschreiben:
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-18 \\ -19 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 1}. [/mm]

Viele Grüße,
DerVogel


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Übung: Anal. Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Sa 15.04.2006
Autor: Sigrid

Hallo Genuin,

Herzlich [willkommenmr]

> 2.2 Zeigen Sie, dass sich die beiden Ebenen schneiden und
> bestimmen Sie die Schnittgerade s von E1 und E2
>  Bin noch nue hier,also bitte verzeiht mir wenn ich nicht
> alles richtig in grafiken poste
>  
> Nun zu meiner Frage zur bildung der Schnittgerade
>  
> ich habe doch folgende Gleichungen:
>  E1 = 2x1-3x2+6x3 = 21
>  E2 = x1-x2=1
>  Dann sage ich anhand von E2:
>  x2 = t
>  x1 = 1+t
>  
> Setze das in E1 ein:
>  2 + 2t - 3t + 6x3 = 21 | -2
>  - t + 6x3 = 19 | +t | :6
>  x3 =  [mm]\bruch{19}{6}[/mm] +  [mm]\bruch{t}{6}[/mm]
>  
> daraus folgt:
>   [mm]\vektor{x1 \\ x2\\ x3}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 1\\ \bruch{19}{6}}[/mm]  + t [mm]\vektor{1\\ 1\\ \bruch{1}{6}}[/mm]
>  
> und das ist irgendwie anders als eure schnittgerade. Hab
> ich mich nun irgendwo verrechnet?

Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler ist dir unterlaufen. Du erhälst die Gleichung:

[mm]\vektor{x1 \\ x2\\ x3}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 0\\ \bruch{19}{6}}[/mm]  + t [mm]\vektor{1\\ 1\\ \bruch{1}{6}}[/mm]

Du hast [mm] x_2 [/mm] ja gleich t gesetzt.

Deine Gleichung ist zwar nicht identisch mit der von DerVogel, aber sie beschreibt dieselbe Gleichung.

Dein Verfahren ist i.w. dasselbe, das Blacky im Buch gefunden hat. Er hat nur [mm] x_3 [/mm] = t gesetzt.

Gruß
Sigrid

>  

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Übung: Anal. Geometrie: wo liegt mein fehler?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Mo 24.04.2006
Autor: seb1986

Aufgabe
2.2 [...] bestimmen Sie die Schnittgerade s von $ [mm] E_1 [/mm] $ und $ [mm] E_2. [/mm] $

1. parameterdarstellung von [mm] E_2 [/mm]
[mm]$ E_2 : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+r* \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]

2.$ [mm] E_2 [/mm] Koordinatenweise in $ [mm] E_1 [/mm]
[mm]2*(2-r+s)-3*(1-r+s)+6*(1-2r-2s)=21[/mm]
[mm]7-11r-13s=21[/mm]
[mm]s=-\bruch{14}{13}-\bruch{11}{13}r[/mm]

3. s in [mm] E_2 [/mm] einsetzen
[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}-\bruch{14}{13}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}-\bruch{11}{13}r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix} 12 \\ -1 \\ 41 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

der richtungsvektor stimmt ja, aber warum komm ich auf so einen stützvektor?
mfg

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Übung: Anal. Geometrie: Bruch nur halb berücksichtigt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mo 24.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Seb,

[willkommenmr] !!


Du unterschlägst beim letzten Zusammenfassen einfach den Nenner des Bruches [mm] $\bruch{14}{13}$ [/mm] :

[mm] $2-\bruch{14}{13}*1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{12}{\red{13}}$ [/mm]

[mm] $1-\bruch{14}{13}*1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\red{13}}$ [/mm]

[mm] $1-\bruch{14}{13}*(-2) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{41}{\red{13}}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Übung: Anal. Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mo 24.04.2006
Autor: seb1986

danke für die antwort.

jetzt hats *ding* gemacht :P

nur weil ich den richtungsvektor erweitere kann ich ja nicht gleichzeitig den stützvektor erweitern! ein denkfehler halt.

ich hatte nach einer möglichkeit gesucht den stützvektor ganzzahlig zu machen, aber ich hab jetzt schon einen anderen weg gefunden.

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