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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 18.10.2004 | | Autor: | tapsi |
kann mir bitte jemand helfen ich benötige einen lösungsschritt üfr eine aufgabe. ich habe keine ahnung wie ich da ran gehen soll.
Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 11^{n+1} [/mm] + [mm] 12^{2n-1} [/mm] ist durch 133 teilbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe mal durchgerechnet und habe sie auch lösen können, jedoch auf eine mir bisher noch nicht untergekommene Art von Induktion. Bei diesem Beispiel nämlich scheint es mir, als müssest du beim Induktionsschritt sowohl die Gültigkeit für $n$, aber auch für $n-1$ ausnutzen. Sowohl für $n=1$ als auch $n=2$ gilt die Behauptung, mein Induktionsschritt beginnt nun so:
[mm] $11^{n+1+1}+12^{2(n+1)-1}=11\cdot 11^{n+1}+12^{2n-1}\cdot 12^2=(11^{n+1}+12^{2n-1}-12^{2n-1})\cdot 11+12^2\cdot (12^{2n-1}+11^{n+1}-11^{n+1})$.
[/mm]
Hier kannst du nun die Tatsache ausnutzen, dass nach bisheriger Induktion [mm] $11^{n+1}+12^{2n-1}$ [/mm] ein Vielfaches von 133 ist, du kannst dne Term also als [mm] $133\cdot [/mm] k$ schreiben. Dann musst du weiter ausmultiplizieren und erhältst am Ende zwei Summanden, für die du noch beweisen musst, dass sie durch 133 teilbar sind. Dort klammerst du am besten mal soviel aus wie möglich und versuchst, den Term [mm] $11^{n+1-1}+12^{2(n-1)-1}$ [/mm] zu konstruieren, welcher nämlich nach Induktion auch durch 133 teilbar ist.
Wenn es noch einfacher geht, bitte - aber das war meine Lösungsidee.
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ihr beiden,
ich habe es nicht nachgerechnet, aber ich denke, mit Hannos Vorschlag bekommt man das auch hin! 
Hier mal ein (etwas) anderer:
Induktionsanfang ist klar, denke ich.
$n [mm] \to [/mm] (n+1)$:
Zu zeigen ist, dass [mm] $11^{n+2}+12^{2n+1}$ [/mm] durch $133$ teilbar ist.
Es gilt:
[m]11^{n+2}+12^{2n+1}=11*11^{n+1}+\underbrace{144}_{=12^2}*12^{2n-1}[/m]
[m]=11*11^{n+1}+(133+11)*12^{2n-1}[/m]
[m]=11*11^{n+1}+133*12^{2n-1}+11*12^{2n-1}[/m]
[m]=11*\underbrace{(11^{n+1}+12^{2n-1})}_{durch\,\, 133\,\, teilbar \,\, nach\,\, Induktionsvorausseztung}+\underbrace{133*\underbrace{12^{2n-1}}_{\in \IN}}_{offenbar\,\, durch \,\, 133 \,\, teilbar!!!}[/m]
Da die letzten beiden Summanden [mm] ((11*(11^{n+1}+12^{2n-1})) [/mm] und [mm] (133*12^{2n-1})) [/mm] beide durch $133$ teilbar sind, sind wir fertig (wegen des Distributivgesetzes!).
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Di 19.10.2004 | | Autor: | tapsi |
vielen vielen dank. ich werd mir dass dann mal anschauen, hoff das ich auch irgendwie euren rechenweg nachvollziehen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Sindy,
> vielen vielen dank.
Gern geschehen! 
> ich werd mir dass dann mal anschauen,
> hoff das ich auch irgendwie euren rechenweg nachvollziehen
> kann.
Also, so frei nach meinem Gefühl denke ich, dass Hannos Weg etwas aufwändiger ist, aber dennoch zum Ziel führen wird. Seine Induktionsmethode ist jedenfalls zweifellos richtig, und er hatte auch daran gedacht, dass man bei dieser Methode den Induktionsanfang für zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen machen muss (hier: n=1 und n=2). Sehr schön!
Ich glaube allerdings nicht, dass seine Rechnung irgendwo ernsthaft kompliziert wird, wenn du dich an seine Anweisungen hältst und das richtige erkennst, dann sollte das hinhauen!
Naja, meine Methode ist halt etwas kürzer (denke ich), weil ich die "klassische" Induktionsmethode anwende (den Namen habe ich mal gerade frei erfunden, du weißt schon, was ich meine, denke ich).
Wenn du Fragen zu meinem Induktionsschritt hast, so kannst du sie gerne stellen, ich (oder auch sonst jemand) werde sie dir gerne beantworten!
Solltest du mit Hannos Beweis an einer Stelle Probleme haben, so darfst du natürlich auch gerne nachfragen. Ich denke, Hanno wird dir da auch gerne weiterhelfen!
(Oder, falls Hanno mal keine Zeit haben sollte, dann wird eben jemand anderes antworten; ich schließe mich da nicht aus! )
Liebe Grüße
Marcel
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