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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Fr 25.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir hatten in de Vo: Eine Di fferentialform [mm] \omega [/mm] heißt geschlossen, wenn [mm] d\omega [/mm] = 0 (äußere Ableitung ist 0) gilt.
In einen Skriptum steht speziell für 1 Formen: U [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen. Eine stetig differenzierbare 1 Form [mm] \omega= \sum_{j=1}^n f_j dx_j [/mm] auf U heißt geschlossen, falls die Integrabilitätsbedingungen
[mm] D_j f_i [/mm] = [mm] D_i f_j [/mm] (1 <= i, j<=n) gelten.
Nun frag ich mich wie ich die 2.te Definition aus der ersten bekomme. Die erste Def. ja eine Verallgemeierung von 2 oder? |
ich denke die zwei Sätze belegen die Tatsache?:
In der Vo hatten wir den Satz: Sei U einfach zusammenhängend, F stetig differenzierbares vektorfeld in U, dass die Integrabilitätsbedingung erfülltt => F Gradientenfeld.
Und den zweiten Satz:
Sei F ein stetiges vektorfeld auf dem Gebiet [mm] U\subseteq \IR^n. [/mm] Dann ist F ein Gradientenfeld <=> [mm] \forall [/mm] geschlossende Wege [mm] \gamma [/mm] in U gilt [mm] \int [/mm] F.ds=0
Aber dazu bräuchte ich dass U ein Gebiet(insbesondere wegzusammenhängend, offen habe ich ja in den Vorrausetzungen) ist .
LG
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Hallo,
Sei [mm] \omega=f_i{\rm d}x^i [/mm] eine 1-Form.
Wir berechnen die äußere Ableitung:
[mm] {\rm d}\omega=\sum_i{\rm d}f_i\wedge{{\rm d}x_i}=\sum_{j
Damit [mm] \omega [/mm] exakt ist, [mm] muss{\rm d}\omega=0 [/mm] sein.
Offensichtlich ist dies erfüllt, wenn die Integrabilitätsbedingungen, also [mm] \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}, [/mm] erfüllt sind.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:15 Sa 26.01.2013 | | Autor: | sissile |
Danke dafür, ich komme mit der Schreibweise nicht ganz zurrecht.
Ich habe die äußere ABleitung so gelernt:
Sei $ [mm] \omega [/mm] $ = $ [mm] \sum_{I \in \IN_n^k} f_I dx_I [/mm] $
d $ [mm] \omega [/mm] $ := $ [mm] \sum_{I\in \IN_n^k} \sum_{m=1}^n \partial_{x_m} f_I d(x_m, x_I) [/mm] $ = [mm] \sum_{I\in \IN_n^k} \sum_{m=1}^n \partial_{x_m} f_I d(x_m) \wedge d(x_I)
[/mm]
Fehlt bei dir nicht eine Summe=?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 28.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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