1. & 2. Ableitung / Quotienten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie die 1. & 2. Ableitung folgender Funktion:
y = [mm] \bruch{x^{2}}{1+ln x} [/mm] |
Hi
Ich habe probleme mit der 2. Ableitung von der o.g. Funktion.
Für die 1. Ableitung habe ich folgendes raus
[mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{2x * ln x + x}{(1+ln x)^{2}}
[/mm]
Für die 2. Ableitung habe ich nach der Quotientenregel folgendes:
[mm] y^{''} [/mm] = [mm] \bruch{(1+ln x )^{2} * (3 + 2 * ln x) - (2x * ln x + x) * (2*(1 + ln x) * \bruch{1}{x})}{(1 + ln x)^{4}}
[/mm]
so, wenn das so richtig ist dann kürzt sich noch einmal (1 + ln x) weg. Aber dann komme ich nicht mehr weiter. Beim ausmultiplizieren fällt mir irgendwie nichts schlaues ein, wenn das so überhaupt richtig ist...:)
Danke
Gruß
|
|
| |
|
> Für die 2. Ableitung habe ich nach der Quotientenregel
> folgendes:
>
> [mm]y^{''}[/mm] = [mm]\bruch{(1+ln x )^{2} * (3 + 2 * ln x) - (2x * ln x + x) * (2*(1 + ln x) * \bruch{1}{x})}{(1 + ln x)^{4}}[/mm]
>
> so, wenn das so richtig ist dann kürzt sich noch einmal (1
> + ln x) weg. Aber dann komme ich nicht mehr weiter. Beim
> ausmultiplizieren fällt mir irgendwie nichts schlaues ein,
> wenn das so überhaupt richtig ist...:)
Hallo,
meine 2. Ableitung sieht auch so aus wie Deine.
Wie Du sagst, kann man noch (1 + ln x) kürzen. Und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] im Zähler verschwinden lassen.
[mm]y''= \bruch{(1+ln x ) * (3 + 2 * ln x) - (2 * ln x + 1) * 2}{(1 + ln x)^3}[/mm].
Wenn man dann die Klammern auflöst, kann man noch ein bißchen was zusammenfassen, aber so richtig berauschende Möglichkeiten sehe ich auch nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi
Wie sieht denn der Zähler nach auflösung der Klammern genau aus?
Ich muss prüfen ob die Funktion Wendepunkte hat.
Ich bin mir nicht ganz sicher was zum Beispiel aus (1+ln x) * (3 + 2*lnx) wird.
Wird daraus:
3 + 3 * ln x + 2 ln x + 2 ln [mm] x^{2} [/mm] ?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo HolyPastafari!
Den fertigen Zähler habe ich Dir in meiner anderen Antwort schon gepostet ...
> Ich bin mir nicht ganz sicher was zum Beispiel aus (1+ln x) * (3 + 2*lnx) wird.
> Wird daraus: 3 + 3 * ln x + 2 ln x + 2 ln [mm]x^{2}[/mm] ?
Fast ... ganz am ende steht da ja: [mm] $2*\ln(x)*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[\ln(x)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] 2*\ln^2(x)$
[/mm]
Das Quadrat bezieht sich also auf den gesamten [mm] $\ln(...)$ [/mm] und nicht nur auf das $x_$ .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo HolyPastafari!
Wenn man den Zähler der 2. Ableitung noch zusammenfasst, erhalte ich: [mm] $2*\ln^2(x)+\ln(x)+1$ [/mm] .
Weiter zusammenfassen ist dann nicht möglich.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
@Roadrunner
Dankeschön
[mm] 2\cdot{}\ln^2(x)+\ln(x)+1 [/mm] darf ich denn von dem 2 * [mm] ln^{2}x [/mm] die 2 noch nach vorne holen um da 4 * ln x draus zu machen. Oder dürfte ich das nur wenn ich 2 * ln [mm] x^{2} [/mm] hätte ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Do 16.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Zweiteres ist korrekt.
ln²(x)=(ln(x))²
(Das ist ähnlich dem Sinus).
Und dann brauchst du die Kettenregel, un die Ableitung zu bestimmen.
Marius
|
|
|
| |
|
Hi
alles klar, also 2 * [mm] ln^{2} [/mm] x ist nicht 4 * ln x. Gut....
Ich hab jetzt eben nochmal probiert das auszumultiplizieren aber irgendwo hab ich nen Knoten.
Also, ich habe raus:
[mm] \bruch{3 + 3lnx + 2lnx + 2ln^{2}x - ( 4x*lnx + 2x)}{x(1 + lnx)^{3}}
[/mm]
dann kann ich doch jetzt nur noch so weiter zusammenfassen:
[mm] \bruch{3 + 5lnx + 2ln^{2}x - 4x*lnx - 2x)}{x(1 + lnx)^{3}}
[/mm]
Aber weiter weiss ich jetzt nicht. Kannst du mich nochmal aufklären.
Danke
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Do 16.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo HolyPastafari!
Sihe nochmal oben. Da wurde die 2. Ableitung nochmal korrigiert, nachdem man [mm] $(1+\ln [/mm] x)$ gekürzt hat und den Term [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] hat verschwinden lassen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
mmhhhh, ich sehe das nicht. Sorry. Kann ich da nochwas kürzen,ausklammern?
[mm] \bruch{(1+ln x ) \cdot{} (3 + 2 \cdot{} ln x) - (2x \cdot{} ln x + x) \cdot{} 2}{x(1 + ln x)^3}
[/mm]
Ich komme nicht drauf, sorry.
|
|
|
| |
|
Hallo HolyPastafari!
$y'' \ = \ [mm] \bruch{(1+\ln x )^2*(3 + 2*\ln x) - (2x*\ln x + x)*2*(1 + \ln x)* \bruch{1}{x}}{(1 + \ln x)^4} [/mm] $
Zunächst kürzen wir hier also ein $(1 + [mm] \ln [/mm] x)$ :
$y'' \ = \ [mm] \bruch{(1+\ln x )^1*(3 + 2*\ln x) - (2x*\ln x + x)*2*1* \bruch{1}{x}}{(1 + \ln x)^3} [/mm] $
Nun klammern wir im Zähler aus der hinteren Klammer $x_$ aus:
$y'' \ = \ [mm] \bruch{(1+\ln x )*(3 + 2*\ln x) - (2*\ln x + 1)*x*2* \bruch{1}{x}}{(1 + \ln x)^3} [/mm] $
Das "verrechnen" wir mit [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] zu [mm] $x*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ 1$ :
$y'' \ = \ [mm] \bruch{(1+\ln x )*(3 + 2*\ln x) - (2*\ln x + 1)*2}{(1 + \ln x)^3} [/mm] $
Und nun ausmultiplizieren ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Ahhh, jetzt geht mir ein licht auf!
dankeschön!
|
|
|
|
