1. Ableitung cos(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hallo!
Die 1.Ableitung von cos(x) = -sin(x), eine klare Sache. Ebenfalls gilt cos(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k} [/mm] und sin(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}*x^{2k+1}
[/mm]
Es gibt ja genügend, auch relativ einfache Beweise um cos'(x) = -sin(x) zu beweisen, aber zur Übung wollte ich die Herleitung mal über die obrige Reihe versuchen. Für sin'(x) = cos(x) klappt das wunderbar, nur für cos'(x) = -sin(x) nicht so ganz:
cos'(x) = [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k})' [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*2k*x^{2k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k-1)!}*x^{2k-1} [/mm] = ... = -sin(x) = - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}*x^{2k+1}
[/mm]
Wer könnte mir das mal ergänzen? :)
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Fr 01.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Die 1.Ableitung von cos(x) = -sin(x), eine klare Sache.
> Ebenfalls gilt cos(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k}[/mm]
> und sin(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}*x^{2k+1}[/mm]
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> Es gibt ja genügend, auch relativ einfache Beweise um
> cos'(x) = -sin(x) zu beweisen, aber zur Übung wollte ich
> die Herleitung mal über die obrige Reihe versuchen. Für
> sin'(x) = cos(x) klappt das wunderbar, nur für cos'(x) =
> -sin(x) nicht so ganz:
> cos'(x) = [mm](\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k})'[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}*2k*x^{2k-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k-1)!}*x^{2k-1}[/mm] =
Hallo,
dein erster Summand in dieser letzten Summe würde im Nenner für k=0 den Wert (-1)! haben?!?
Ich denke mal, hier ist eine Indexverschiehung erforderlich.
Gruß Abakus
> ... = -sin(x) = - [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}*x^{2k+1}[/mm]
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> Wer könnte mir das mal ergänzen? :)
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> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ja das viel mir auch schon auf, jedoch muss ich später im Index wieder eine 0 haben um dafür dann den Sinus einzusetzen. Und da wüsste ich gerade nicht so wirklich wie ich vorgehen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pille456,
die Ableitung in der Reihendarstellung gilt erst ab k = 1, das Glied für k = 0 liefert eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt. Man bekommt also
$$ [mm] \sum_{k = 1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k-1)!} x^{2k-1} [/mm] $$
Ersetze nun k = j+1, schreibe das Ganze auf die Variable j um und Du kommst zum gewünschten Ausdruck. Die untere Grenze stimmt dann auch wieder mit j = 0 und aus dem Term [mm] (-1)^{j+1} [/mm] kannst Du eine -1 für das gewünschte Minuszeichen rausziehen.
Viele Grüße,
Infinit
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