100n*log_2(n) = 2000000 < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 05.08.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | [mm] $10n*log_2(n) [/mm] = 5000$ |
Wie rechnet man solche Terme ohne Taschenrechner?
Weiter als [mm] $n*log_2(n) [/mm] = 500$ komme ich hier leider nicht.
P.S. : Dies ist eine Beispielaufgabe von mir. Die eigentliche Aufgabe beschäftigt sich mit Laufzeitberechnung etc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 05.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]10n*log_2(n) = 5000[/mm]
> Wie rechnet man solche Terme ohne
> Taschenrechner?
>
> Weiter als [mm]n*log_2(n) = 500[/mm] komme ich hier leider nicht.
Nun, das laesst sich auch nicht exakt loesen, sondern nur numerisch. Wenn man das hier von Hand loesen will, kann man etwas "raten": "rate" die Stellen von $n$ in der Dinaerdarstellung. Erstmal zur hoechsten Stelle. Fuer $n = [mm] 2^k$ [/mm] soll [mm] $2^k \log_2(2^k) \le [/mm] 500$ gelten, also $k [mm] 2^k \le [/mm] 500$. Fuer $k = 7$ ist $7 [mm] \cdot [/mm] 128 > 500$, jedoch $6 [mm] \cdot [/mm] 64 = 384 < 500$. Also setze $n = [mm] 2^6 [/mm] + [mm] \dots$. [/mm] Probiere nun [mm] $2^6 [/mm] + [mm] 2^5 [/mm] = 96 = [mm] 2^6 [/mm] (1 + 1/2) = [mm] 2^6 \cdot [/mm] 3/2$; dann ist [mm] $\log_2 (2^6 [/mm] + [mm] 2^5) [/mm] = 6 + [mm] \log_2(3/2)$ [/mm] und somit [mm] $(2^6 [/mm] + [mm] 2^5) \log_2(2^6 [/mm] + [mm] 2^5) [/mm] = 6 [mm] \cdot [/mm] 96 + 96 [mm] \log_2(3/2) [/mm] > 500$, also zu gross. Probiere als naechstes [mm] $2^6 [/mm] + [mm] 2^4 [/mm] = 80 = [mm] 2^6 [/mm] (1 + 1/4) = [mm] 2^6 \cdot [/mm] 5/4$; dann ist [mm] $\log_2(2^6 [/mm] + [mm] 2^4) [/mm] = 6 + [mm] \log_2(5/4)$ [/mm] und somit [mm] $(2^6 [/mm] + [mm] 2^4) \log_2(2^6 [/mm] + [mm] 2^4) [/mm] = 6 [mm] \cdot [/mm] 80 + 80 [mm] \log_2(5/4) [/mm] = 480 + 80 [mm] \log_2(5/4)$. [/mm] Das koennte schon hinhauen, wenn man es nachrechnet sieht man, dass es knapp groesser als 500 ist. Wenn man $n [mm] \approx 2^6 [/mm] + [mm] 2^4$ [/mm] nimmt kommt es also schon recht gut dran.
Und je nachdem was man in etwa vorhat reicht das auch  Die genaue Loesung hier ist uebrigens $n = 79.2582739...$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 05.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> > [mm]10n*log_2(n) = 5000[/mm]
> > Wie rechnet man solche Terme ohne
> > Taschenrechner?
> >
> > Weiter als [mm]n*log_2(n) = 500[/mm] komme ich hier leider nicht.
>
> Nun, das laesst sich auch nicht exakt loesen, sondern nur
> numerisch. Wenn man das hier von Hand loesen will, kann man
> etwas "raten": "rate" die Stellen von [mm]n[/mm] in der
> Dinaerdarstellung. Erstmal zur hoechsten Stelle. Fuer [mm]n = 2^k[/mm]
> soll [mm]2^k \log_2(2^k) \le 500[/mm] gelten, also [mm]k 2^k \le 500[/mm].
> Fuer [mm]k = 7[/mm] ist [mm]7 \cdot 128 > 500[/mm], jedoch [mm]6 \cdot 64 = 384 < 500[/mm].
> Also setze [mm]n = 2^6 + \dots[/mm]. Probiere nun [mm]2^6 + 2^5 = 96 = 2^6 (1 + 1/2) = 2^6 \cdot 3/2[/mm];
> dann ist [mm]\log_2 (2^6 + 2^5) = 6 + \log_2(3/2)[/mm] und somit
> [mm](2^6 + 2^5) \log_2(2^6 + 2^5) = 6 \cdot 96 + 96 \log_2(3/2) > 500[/mm],
> also zu gross. Probiere als naechstes [mm]2^6 + 2^4 = 80 = 2^6 (1 + 1/4) = 2^6 \cdot 5/4[/mm];
> dann ist [mm]\log_2(2^6 + 2^4) = 6 + \log_2(5/4)[/mm] und somit [mm](2^6 + 2^4) \log_2(2^6 + 2^4) = 6 \cdot 80 + 80 \log_2(5/4) = 480 + 80 \log_2(5/4)[/mm].
> Das koennte schon hinhauen, wenn man es nachrechnet sieht
> man, dass es knapp groesser als 500 ist. Wenn man [mm]n \approx 2^6 + 2^4[/mm]
> nimmt kommt es also schon recht gut dran.
>
> Und je nachdem was man in etwa vorhat reicht das auch
> Die genaue Loesung
Sage lieber: eine mehr oder weniger gute Näherung...
> hier ist uebrigens [mm]n = 79.2582739...[/mm].
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 05.08.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]10n*log_2(n) = 5000[/mm]
> Wie rechnet man solche Terme ohne
> Taschenrechner?
>
> Weiter als [mm]n*log_2(n) = 500[/mm] komme ich hier leider nicht.
Hallo,
nach Logarithmengesetzen folgt daraus
[mm] log_2(n^n)=500
[/mm]
und damit
[mm] n^n=2^{500}
[/mm]
was sich fortsetzen lässt zu
[mm] ...=4^{250}=16^{125}=32^{100}=64^{\bruch{250}{3}}\approx 64^{83,333}.
[/mm]
Wenn Basis und Exponent gleich sein sollen, dann liegt n irgendwo zwischen 64 und 83.
Das lässt sich
ohne TR nicht berechnen,
mit TR auch nicht exakt berechnen
sondern nur näherungsweise angeben.
Gruß Abakus
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> P.S. : Dies ist eine Beispielaufgabe von mir. Die
> eigentliche Aufgabe beschäftigt sich mit
> Laufzeitberechnung etc.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Andrey |
$x [mm] log_2(x)=500$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] ln(x)x=500 ln(2)$
[mm] $\gdw ln(x)e^{ln(x)}=500 [/mm] ln(2)$
[mm] $\gdw [/mm] ln(x)=W(500 ln(2))$
[mm] $\gdw x=e^{500W(ln(2))}$
[/mm]
Wobei W hier für die Lambert'sche W-Funktion steht. Das ist eine ganz tolle funktion, nicht besser oder schlechter als ln, exp, sqrt, areasinh usw. , die hat sogar einen eigenen Namen (!!!) , nur kennen die nicht so viele... Sie lässt sich auch genausogut wie alle anderen Funktionen auswerten, wenn einem langweilig ist, kann man sogar eine tabelle mit speziellen exakten Werten anlegen... Aber irgendwie kommt es mir so vor, dass manche Leute glauben, dass man alles irgendwie "exakt" ausrechnen kann. Was [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] "genau" werden wir doch auch nie erfahren, das stört aber keinen. In der Praxis sieht es ja eigentlich fast immer so aus, dass man sogut wie gar nichts exakt ausrechnen kann, das sind eher kuriose ausnahmefälle.
Mich würde aber schon interessieren, wie felixf dieses Teil mit einem taschenrechner ausgewertet hat... Die eine oder die andere Iteration könnte man sich da schon überlegen, aber mit taschenrechner...?
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Lambert'sche W-Funktion