1/(1+x²) reell analytisch < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich zeigen kann, dass [mm] f(x)=\frac{1}{1+x^2} [/mm] reell analytisch ist, d.h. wie ich f in jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] lokal in eine Potenzreihe der Form [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm] schreiben kann?
Für [mm] x_0=0 [/mm] hat man natürlich [mm] f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (-x^2)^n [/mm] für |x|<1, aber ich weiß nicht, ob (und wie) ich damit weiterkomme.
Irgendwie muss ich ja [mm] (x-x_0) [/mm] in die Reihe basteln, also war mein erster Versuch dann [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n(x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n(((x-x_0)+x_0)^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n((x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2)^n [/mm] aber daran erkenne ich leider auch nichts.
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Hallo Teufel,
> Hi!
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> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich zeigen kann,
> dass [mm]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm] reell analytisch ist, d.h. wie
> ich f in jedem Punkt [mm]x_0[/mm] lokal in eine Potenzreihe der Form
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n[/mm] schreiben kann?
>
> Für [mm]x_0=0[/mm] hat man natürlich [mm]f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (-x^2)^n[/mm]
> für |x|<1, aber ich weiß nicht, ob (und wie) ich damit
> weiterkomme.
>
> Irgendwie muss ich ja [mm](x-x_0)[/mm] in die Reihe basteln, also
> war mein erster Versuch dann [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n(x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n(((x-x_0)+x_0)^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n((x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2)^n[/mm]
> aber daran erkenne ich leider auch nichts.
Dann musst den unter dem Summenzeichen
angegebenen Ausdruck etwas umformen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie meinst du das denn genau? Ich kann z.B. die Klammer [mm] (...)^n [/mm] mittels binomischen Lehrsatz auflösen, aber das hat mir nichts gebracht.
Oder ich kann [mm] 2x_0(x-x_0)+x_0^2 [/mm] noch zu [mm] 2x_0x-x_0^2, [/mm] aber damit mach ich ja die schöne Struktur kaputt, die ich aufgabeut habe. Also ich weuiß nicht, woran ich feilen muss, damit da etwas sinnvolles rauskommt...
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Hallo Teufel,
> Hi!
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> Wie meinst du das denn genau? Ich kann z.B. die Klammer
> [mm](...)^n[/mm] mittels binomischen Lehrsatz auflösen, aber das
> hat mir nichts gebracht.
>
Genau das ist der Weg, den binomischen Lehrsatz verwenden,
und das nach ein bischen Umformerei auf die geforderte
Darstellung zurückzuführen.
> Oder ich kann [mm]2x_0(x-x_0)+x_0^2[/mm] noch zu [mm]2x_0x-x_0^2,[/mm] aber
> damit mach ich ja die schöne Struktur kaputt, die ich
> aufgabeut habe. Also ich weuiß nicht, woran ich feilen
> muss, damit da etwas sinnvolles rauskommt...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 15.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Also ich habe das gestern noch probiert, aber ich habe keinen Weg gefunden das vernünftig umzuformen.
Ich konnte z.B. daraus machen:
[mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^k(x+x_0)^kx_0^{n-k} [/mm] oder aber auch [mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^{2k}(2x_0(x-x_0)+x_0^2)^{n-k}, [/mm] je nachdem wie ich die binomische Formel auflöse (ich habe ja einen Ausdruck der Form [mm] (a+b+c)^n=((a+b)+c)^n=(a+(b+c))^n) [/mm]
Irgendwie sehe ich da nichts, sorry.
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Hallo Teufel,
> Also ich habe das gestern noch probiert, aber ich habe
> keinen Weg gefunden das vernünftig umzuformen.
>
> Ich konnte z.B. daraus machen:
>
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^k(x+x_0)^kx_0^{n-k}[/mm]
> oder aber auch
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^{2k}(2x_0(x-x_0)+x_0^2)^{n-k},[/mm]
> je nachdem wie ich die binomische Formel auflöse (ich habe
> ja einen Ausdruck der Form
> [mm](a+b+c)^n=((a+b)+c)^n=(a+(b+c))^n)[/mm]
>
> Irgendwie sehe ich da nichts, sorry.
Alternativ kannst Du eine Partialbruchzerlegung durchführen,
und die Partialbrüche in eine geometrische Reihe um [mm]x_{0}[/mm] entwickeln.
Dann ist noch zu zeigen, daß die so entwickelte Reihe gemäß
Partialbruchzerlegung nur reelle Koeffizienten hat.
[mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{A}{x+i}+\bruch{B}{x-i}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 15.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Teufel,
>
> > Also ich habe das gestern noch probiert, aber ich habe
> > keinen Weg gefunden das vernünftig umzuformen.
> >
> > Ich konnte z.B. daraus machen:
> >
> >
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^k(x+x_0)^kx_0^{n-k}[/mm]
> > oder aber auch
> >
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\summe_{k=0}^n(x-x_0)^{2k}(2x_0(x-x_0)+x_0^2)^{n-k},[/mm]
> > je nachdem wie ich die binomische Formel auflöse (ich habe
> > ja einen Ausdruck der Form
> > [mm](a+b+c)^n=((a+b)+c)^n=(a+(b+c))^n)[/mm]
> >
> > Irgendwie sehe ich da nichts, sorry.
>
>
> Alternativ kannst Du eine Partialbruchzerlegung
> durchführen,
> und die Partialbrüche in eine geometrische Reihe um [mm]x_{0}[/mm]
> entwickeln.
> Dann ist noch zu zeigen, daß die so entwickelte Reihe
> gemäß
> Partialbruchzerlegung nur reelle Koeffizienten hat.
>
> [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{A}{x+i}+\bruch{B}{x-i}[/mm]
Hallo,
dazu braucht man keine PBZ.
Gemäß Summenformel der geometrischen Reihe ist [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+x^8...[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Di 15.05.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo abakus,
> Hallo,
> dazu braucht man keine PBZ.
> Gemäß Summenformel der geometrischen Reihe ist
> [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+x^8...[/mm]
Das ist mir auch klar, wenn [mm]x_{0}=0[/mm] ist.
Der allgemeine Fall ist jedoch [mm]x_{0} \not= 0[/mm]
> Gruß Abakus
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 15.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke, mit der Partialbruchzerlegung ging das recht einfach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 14.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Hi!
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> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich zeigen kann,
> dass [mm]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm] reell analytisch ist, d.h. wie
> ich f in jedem Punkt [mm]x_0[/mm] lokal in eine Potenzreihe der Form
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n[/mm] schreiben kann?
[mm] $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm] * [mm] (1+x^2)=1$, [/mm] Koeffizientenvergleich.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 15.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für diesen Ansatz. Ich habe auch gerade mal eine Weile rumprobiert, aber irgendwie sehe ich nicht, wie ich vernünftig Koeffizienten vergleichen kann.
Ich wollte jeweils die l-te Ableitung der Reihe bilden, aber das wird sehr schnell sehr unübersichtlich, da Produktregel.
Also ich erhalte [mm] a_0=\frac{1}{1+x_0^2}. [/mm] Für l>0 gilt dann:
[mm] 0\stackrel{!}{=}\summe_{n=0}^{\infty}a_n((x-x_0)^n(1+x^2))^{(l)}=\summe_{n=0}^{\infty}a_n\summe_{k=0}^l \vektor{l \\ k}((x-x_0)^n)^{(k)}((1+x^2))^{(l-k)}=... [/mm] meinst du das? Oder geht es irgendwie einfacher?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 15.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Danke für diesen Ansatz. Ich habe auch gerade mal eine
> Weile rumprobiert, aber irgendwie sehe ich nicht, wie ich
> vernünftig Koeffizienten vergleichen kann.
[m](x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2=x^2[/m].
Natürlich musst du dann zeigen, dass Gleichheit in einer Umgebung herrscht. Hast du da keine allgemeinen Sätze für?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Di 15.05.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, leider habe ich gar keine Sätze über analytische Funktionen auf [mm] \IR. [/mm] Aber mit der Partialbruchzerlegung hab ich das nun geschafft. Vielleicht nicht der eleganteste Weg, aber na ja. ;)
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