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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 13.03.2014 | | Autor: | DieNase |
| Aufgabe | Man bestimme alle ganzzahligen Losungen der Gleichung:
18x + 314y = 2014 |
Ich zermale mir über das Beispiel jetzt schon einige zeit den Kopf.
Zuerst dachte ich auf x umformen dann einfach einsetzen ausrechnen. Aber das wäre dann ja eine sehr spezielle lösung.
Danach hatte ich folgende idee:
Durch 2 dividieren. damit man auf
9x + 157y = 2014 kommt
Primfaktoren:
3*3 = 9
157 ist primzahl
1007 = 2*2*11*13
Ich habe mir jetzt folgendes weiter gedacht:
9x + 157y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4
9x + 157y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11
9x + 157y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 13
Bloß so recht weiß ich jetzt net was ich tun soll ^^ Ich hätte gehofft mir kommt eine idee wenn ich das mal anschreibe aber leider nicht...
x + y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4
x [mm] \equiv [/mm] -y mod 4
x [mm] \equiv [/mm] 3y mod 4
9x +3y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11
9x + 19y [mm] \equiv [/mm] 0 mod 23
Ich hätte gehofft hier irgendwelche Beziehungen der Zahlen zu gewinnen die mir einfallen die ich sehe... ABer leider fehlanzeige -.-
Für eine helfende hand in form eines tipps ratschlag idee wäre ich sehr dankbar.
mfg
Christoph
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> Man bestimme alle ganzzahligen Losungen der Gleichung:
>
> 18x + 314y = 2014
> Ich zermale mir über das Beispiel jetzt schon einige zeit
> den Kopf.
Hallo,
dann siehst Du jetzt bestimmt lustig aus - so bekritzelt.
>
> Zuerst dachte ich auf x umformen dann einfach einsetzen
> ausrechnen. Aber das wäre dann ja eine sehr spezielle
> lösung.
Und vermutlich nicht ganzzahlig...
>
> Danach hatte ich folgende idee:
>
> Durch 2 dividieren. damit man auf
> 9x + 157y = 2014 kommt
>
> Primfaktoren:
> 3*3 = 9
> 157 ist primzahl
Aha!
Also ist ggT(9,157)=1.
Das Lemma von Bezout sagt, daß es ganze Zahlen r und s gibt mit
9r + 157s =1,
Du findest sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus,
und das 1007-fache davon sollten dann die gesuchten Zahlen x und y sein.
LG Angela
> 1007 = 2*2*11*13
>
> Ich habe mir jetzt folgendes weiter gedacht:
> 9x + 157y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 4
> 9x + 157y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 11
> 9x + 157y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 13
>
> Bloß so recht weiß ich jetzt net was ich tun soll ^^ Ich
> hätte gehofft mir kommt eine idee wenn ich das mal
> anschreibe aber leider nicht...
>
> x + y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 4
> x [mm]\equiv[/mm] -y mod 4
> x [mm]\equiv[/mm] 3y mod 4
>
> 9x +3y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 11
> 9x + 19y [mm]\equiv[/mm] 0 mod 23
>
> Ich hätte gehofft hier irgendwelche Beziehungen der Zahlen
> zu gewinnen die mir einfallen die ich sehe... ABer leider
> fehlanzeige -.-
>
> Für eine helfende hand in form eines tipps ratschlag idee
> wäre ich sehr dankbar.
>
> mfg
> Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Do 13.03.2014 | | Autor: | DieNase |
Hallo,
Ich möchte kurz noch eine Berichtigung zur Lösung des Beispieles schreiben.
Man findet eine Lösung wie es schon beschrieben ist! Jedoch waren bei diesem Beispile alle ganzzahligen Lösungen gefragt diese lassen sich aber leicht definieren als:
x = 1007 * (35 + k *157)
y = 1007 * (-2 - k * 9)
k ist dabei eine Element der ganzen Zanhlen.
35 und -2 sind die ergebnis aus dem Eukalidischen Algorithmus. Auch hier nochmal danke an Angela. Das Beispiel ist ungemein einfach, wenn man das mit dem ggT sieht  . Ja der Wald der Mathematik ist groß und dunkel und voller irrwege.
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