1 dimensionale Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 18.12.2005 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Es seien $W, X, Y, Z$ verschiedene 1-dimensionale Unterräume des Vektorraums $V$.
Zeigen Sie: Wenn [mm] $\dim [/mm] ((W+X) [mm] \cap [/mm] (Y+Z)) =1$ gilt, dann gilt [mm] $\dim [/mm] ((W+Y) [mm] \cap [/mm] (X+Z)) = 1$. |
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HI!
Ich hab gedacht ich kann zur lösung irgendwie zeigen dass gilt:
dim ((W+X) [mm] \cap [/mm] (Y+Z)) = dim ((W+Y) [mm] \cap [/mm] (X+Z))
Hab da mal bei dim ((W+X) [mm] \cap [/mm] (Y+Z)) angefangen:
dim ((W+X) [mm] \cap [/mm] (Y+Z)) = dim (W+X) + dim(Y+Z) - dim ((W+X) + (Y+Z)) = dim W + dim X- dim(W [mm] \cap [/mm] X) + dim Y +dim Z - dim (Y [mm] \cup [/mm] Z) - dim ((W+Y)+(X+Z))
Jetzt bin ich ja schon fast soweit. Wenn ich jetzt noch irgendwie zeigen könnte dass dim (W [mm] \cap [/mm] X) = dim (W [mm] \cap [/mm] Y) und dim (Y [mm] \cap [/mm] Z) = dim (X [mm] \cap [/mm] Z) gilt.
Aber ich kann das doch nicht einfach so sagen, auch wenn es doch ganz logisch wäre ;)
Hab ich hier schon falsch angefangen? Oder wie müsste ich weiter machen falls nicht?
Danke schonmal.
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 18.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kati!
Ich schlage folgendes vor:
Da die dir gegebenen Unterräume $W,X,Y,Z$ eindimensional sind, gibt es Vektoren [mm] $w,x,y,z\in [/mm] V$ mit [mm] $W=\langle w\rangle, X=\langle x\rangle, Y=\langle y\rangle, Z=\langle z\rangle$. [/mm] Da nun [mm] $(W+X)\cap (Y+Z)\neq \{0\}$, [/mm] existieren Koeffizienten [mm] $\lambda_i\in\IK, [/mm] i=1,2,3,4$ mit [mm] $\lambda_1 w+\lambda_2 [/mm] x = [mm] \lambda_3 y+\lambda_4 [/mm] z$. Kannst du diese Gleichung nun so umstellen, dass auf der einen Seite ein Vektor aus $W+Y$, auf der anderen ein Vektor aus $X+Z$ steht, und beide vom Nullvektor verschieden sind? Bedenke dabei, dass $w,x,y,z$ paarweise linear unabhängig sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 18.12.2005 | | Autor: | Kati |
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Hmm, ehrlich gesagt, weiß ich net so recht wie ich das umstellen soll. Das einfach rüber zu ziehen, wär wohl net der richtige weg ;) Wenn ich das machen könnte wär ich dann schon fertig?
Gruß kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Kati!
Es gilt:
$a:= [mm] \lambda_1 [/mm] w - [mm] \lambda_3y [/mm] = [mm] \lambda_4 [/mm] z - [mm] \lambda_2 [/mm] x [mm] \in [/mm] (W+Y) [mm] \cap [/mm] (X +Z)$.
Hierbei ist $a [mm] \ne [/mm] 0$, denn wegen der linearen Unabhängigkeit von $(w,y)$ und $(z,x)$ wäre ansonsten
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_4 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$,
im Widerspruch zur vorherigen Wahl dieser Koeffizienten.
Jetzt ist die Dimension des gefragten Unterraums also mindestens gleich 1. Mache dir nun noch klar, dass sie nicht 2 sein kann (mehr geht eh nicht...).
Liebe Grüße
Julius
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