(1/x)^(1/x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Ableitung der Funktion:
$$f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$$ |
hi
es geht um obige Funktion, deren Ableitung mir Probleme bereitet.
Ich schreib jetzt einfach mal, wie ich mir die Ableitung Schritt für Schritt zusammengebastelt habe:
Für $a^x$ ist die Ableitung $a \ln(x)$.
Meine Ableitung beginnt also mit:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x} \cdot \ln x$$
Den Exponenten muss ich denke ich noch nachdifferenzieren, also:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln x \cdot \frac{-1}{x^2}$$
Und zuletzt die Basis nachdifferenzieren, Gesamtergebnis ist also:
$$\frac{1}{x} \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x^4}$$
So, irgendetwas ist daran fundamental falsch, denn als Ergebnis ist folgende Lösung angegeben:
$$(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}+2} \cdot (\ln x - 1})$$
Diese "doppelte Verkettung" hats in sich, hier liegt denke ich der Fehler, und ich wäre für Hilfe und Erklärung SEHR dankbar 
Gruß GB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 25.08.2009 | | Autor: | statler |
> Ableitung der Funktion:
> [mm]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}[/mm]
Mahlzeit!
> es geht um obige Funktion, deren Ableitung mir Probleme
> bereitet.
>
> Ich schreib jetzt einfach mal, wie ich mir die Ableitung
> Schritt für Schritt zusammengebastelt habe:
>
> Für [mm]a^x[/mm] ist die Ableitung [mm]a \ln(x)[/mm].
Das ist schon mal nicht so. [mm] a^x [/mm] ist [mm] e^{x*lna}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Ableitung der Funktion:
> [mm]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}[/mm]
Hallo,
Du kommst hier bequem zum Ziel, wenn Du Dir f(x)= [mm] (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}} [/mm] als e-Funktion schreibst.
Es ist [mm] \frac{1}{x}=e^{\ln (\frac{1}{x})}=e^{-ln(x)}, [/mm] so daß Du hast [mm] f(x)=e^{-\frac{1}{x}\ln (x)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mo 14.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo Angela,
ich habe ehrlich gesagt ein bisschen gebraucht, um die Umformulierung nachzuvollziehen, aber jetzt habe ich sie verstanden und möchte die Aufgabe nun auch mit diesem Ansatz lösen. Leider bin ich nicht zum richtigen Ergebnis gekommen.
mein Lösungsansatz (mit der Kettenregel) ist folgender:
f'(x) = [mm] \bruch{ln(x)-1}{x^2}\*exp(\bruch{-ln(x)}{x}) [/mm]
aber dann komme ich leider nicht wirklich weiter...
wäre nett wenn jemand den Ansatz korrigieren oder mir sagen würde wie ich da weitermachen muss.
Grüße
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Hallo a_la_fin!
Du bist (eigentlich) fertig. Um auf das o.g. Ergebnis zu kommen, musst Du wieder ersetzen:
[mm] $$\exp\left(-\bruch{\ln(x)}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{x}\right)^{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Anschließend mittels  Potenzgesetzen zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Di 15.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Danke! Ich war gerade eben auch selber auf die richtige Lösung gekommen, aber ich habe umständlicher umformuliert.
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Hallo GreatBritain!
Hier bietet sich auch logarithmisches Differenzieren an. Dafür wird zunächst auf beiden Seiten der Funktionsvorschrift der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] angewandt.
$$y \ = \ [mm] \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right]$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{x}*\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\frac{1}{x}*\ln(x)$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\frac{\ln(x)}{x}$$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten differenzieren (unter Beachtung der Kettenregel auf der linken Seite).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 14.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
ich kenne die Kettenregel und kann sie eigentlich auch anwenden, habe aber leider trotzdem nicht verstanden wie ich sie hier auf der linken Seite, also auf das ln y anwenden muss??
Danke schonmal
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Hallo a_la_fin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Ableitung von [mm] $\ln(y)$ [/mm] nach der Variablen $x_$ beträgt:
[mm] $$\left[ \ \ln(y) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'}{y}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank, jetzt hats geklappt.
Nicht richtig Lesen können gepaart mit Ungeschicktheit ist natürlich ne ungünstige Kombi 
Aber Fehler sind zum Lernen da, und jetzt hab ichs verstanden
Dankende Grüße, GB
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