1/x stetig auf R\{0} zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Funktion $f(x) [mm] =\frac{1}{x}$ [/mm] stetig auf [mm] \IR\textbackslash\{0\} [/mm] ist. |
Hallo!
Ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht mit der Folgendefinition von Stetigkeit lösen könnte.
Ich möchte es aber mit der [mm] \varepsilon-\delta-Variante [/mm] versuchen.
[mm] $\left|f(x)-f(x_{0})\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| [/mm] = [mm] \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|}$
[/mm]
Nun schätze ich $|x|$ ab:
$|x| = [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| [/mm] - [mm] |x-x_{0}|$,
[/mm]
also obige Ungleichung weitergeführt:
[mm] $\le \frac{|x-x_{0}|}{(|x_{0}| - |x-x_{0}|)*|x_{0}|} \le \frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|}$
[/mm]
(Ich ziehe im Nenner mehr ab, dieser wird also kleiner).
Damit komme ich auf die Gleichung für [mm] \delta:
[/mm]
[mm] $\frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|} [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \varepsilon*(|x_{0}| [/mm] - [mm] \delta)*|x_{0}|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \varepsilon*|x_{0}|^{2} [/mm] - [mm] \delta*\varepsilon*|x_{0}|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \delta*(1+\varepsilon*|x_{0}|) [/mm] = [mm] \varepsilon*|x_{0}|^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}$
[/mm]
Wenn ich das jetzt wiederum oben in dem Beweis also [mm] \delta [/mm] setzen würde, käme ich zum gewünschten Ergebnis. Das [mm] \delta [/mm] kann immer gewählt werden, da der Nenner > 1 ist.
1. Frage: Stimmt das  ?
2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der [mm] \varepsilon-\delta-Variante [/mm] noch einfacher?
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 14.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Zeige, dass die Funktion [mm]f(x) =\frac{1}{x}[/mm] stetig auf
> [mm]\IR\textbackslash\{0\}[/mm] ist.
> Hallo!
>
> Ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht mit der
> Folgendefinition von Stetigkeit lösen könnte.
> Ich möchte es aber mit der [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm]
> versuchen.
>
> [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|}[/mm]
>
> Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
>
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],
Du meinst diese Ungleichung:
[mm] |x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],
Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte Seite $<0$ werden kann und dann nichts mehr bringt für die Abschätzung von [mm] $\bruch{1}{|x|}$. [/mm] Das ist dann der Fall, wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder $|x| > 2 [mm] |x_{0}|$. [/mm]
Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm] $|x-x_0| <|x_0|$, [/mm] also [mm] $\delta <|x_0|$. [/mm] Das darfst du tun, weil die Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist.
Dann funktioniert deine Argumentation wie gehabt:
> also obige Ungleichung weitergeführt:
>
> [mm]\le \frac{|x-x_{0}|}{(|x_{0}| - |x-x_{0}|)*|x_{0}|} \le \frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|}[/mm]
>
> (Ich ziehe im Nenner mehr ab, dieser wird also kleiner).
Das funktioniert nur, wenn die Differenzen im Nenner $>0$ sind.
> Damit komme ich auf die Gleichung für [mm]\delta:[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta}{(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|} = \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta = \varepsilon*(|x_{0}| - \delta)*|x_{0}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta = \varepsilon*|x_{0}|^{2} - \delta*\varepsilon*|x_{0}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta*(1+\varepsilon*|x_{0}|) = \varepsilon*|x_{0}|^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt wiederum oben in dem Beweis also [mm]\delta[/mm]
> setzen würde, käme ich zum gewünschten Ergebnis. Das
> [mm]\delta[/mm] kann immer gewählt werden, da der Nenner > 1 ist.
>
>
> 1. Frage: Stimmt das ?
Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm] $\delta <|x_0|$ [/mm] hinzunehmen, also
[mm] \delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\) [/mm]
> 2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für
> so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?
Ich würde mich von vorneherein auf [mm] $\delta [/mm] < [mm] |x_0|/2$ [/mm] einschränken. Damit ist $|x| > [mm] |x_0|/2$ [/mm] und
[mm] \left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],
also
[mm] \delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
Ich bin aber noch nicht ganz zufrieden
> > Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
> >
> > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],
>
> Du meinst diese Ungleichung:
>
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],
>
> Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte
> Seite [mm]<0[/mm] werden kann und dann nichts mehr bringt für die
> Abschätzung von [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]. Das ist dann der Fall,
> wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder [mm]|x| > 2 |x_{0}|[/mm].
> Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm]|x-x_0| <|x_0|[/mm],
> also [mm]\delta <|x_0|[/mm]. Das darfst du tun, weil die Stetigkeit
> eine lokale Eigenschaft ist.
Ich verstehe, warum ich das annehmen muss.
Ich verstehe nicht die Begründung "Weil Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist"
Kannst du mir das erklären?
Im Übrigen:
Wenn ich am Ende auf [mm] $\delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}$ [/mm] komme, ist doch sowieso:
$|x| = [mm] |x_{0} [/mm] - [mm] (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| [/mm] - [mm] |x-x_{0}| \ge |x_{0}|-\delta [/mm] = [mm] |x_{0}| [/mm] - [mm] \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|} [/mm] = [mm] \frac{|x_{0}|}{1+\varepsilon*|x_{0}|} [/mm] > 0$,
also dürfte es doch gar keine Probleme geben?
--------
> Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm]\delta <|x_0|[/mm]
> hinzunehmen, also
>
> [mm]\delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\)[/mm]
Ich verstehe nicht, warum dadurch [mm] \delta [/mm] < [mm] |x_{0}| [/mm] gewährleistet ist. Der erste Term im "max" könnte doch größer sein?
> > 2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für
> > so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> > [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?
>
> Ich würde mich von vorneherein auf [mm]\delta < |x_0|/2[/mm]
> einschränken. Damit ist [mm]|x| > |x_0|/2[/mm] und
Ich verstehe nicht, wieso ich diese Einschränkung machen darf.
> [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],
>
> also
>
> [mm]\delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mi 17.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort!
> Ich bin aber noch nicht ganz zufrieden
>
>
> > > Nun schätze ich [mm]|x|[/mm] ab:
> > >
> > > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}|[/mm],
> >
> > Du meinst diese Ungleichung:
> >
> > [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge \Bigl||x_{0}| - |x-x_{0}|\Bigr|[/mm],
>
> >
> > Das Problem bei deiner Abschätzung ist, dass die rechte
> > Seite [mm]<0[/mm] werden kann und dann nichts mehr bringt für die
> > Abschätzung von [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]. Das ist dann der Fall,
> > wenn entweder x auf der anderen Seite der 0 liegt oder [mm]|x| > 2 |x_{0}|[/mm].
>
> > Also musst du zusätzlich annehmen, dass [mm]|x-x_0| <|x_0|[/mm],
> > also [mm]\delta <|x_0|[/mm]. Das darfst du tun, weil die Stetigkeit
> > eine lokale Eigenschaft ist.
>
> Ich verstehe, warum ich das annehmen muss.
> Ich verstehe nicht die Begründung "Weil Stetigkeit eine
> lokale Eigenschaft ist"
> Kannst du mir das erklären?
Für die Stetigkeit in einem Punkt [mm] $x_0$ [/mm] kommt es nur auf das Verhalten der Funktion in einer hinreichend kleinen [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] an. Das [mm] $\delta$ [/mm] darf dabei eine beliebig kleine Zahl $>0$ sein. Das Verhalten der Funktion außerhalb ist egal.
> Im Übrigen:
>
> Wenn ich am Ende auf [mm]\delta= \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|}[/mm]
> komme, ist doch sowieso:
>
> [mm]|x| = |x_{0} - (x_{0}-x)| \ge |x_{0}| - |x-x_{0}| \ge |x_{0}|-\delta = |x_{0}| - \frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|} = \frac{|x_{0}|}{1+\varepsilon*|x_{0}|} > 0[/mm],
>
> also dürfte es doch gar keine Probleme geben?
Das ist richtig. Aber die Methode, mit der du dorthinkommst, funktioniert nur für [mm] $|x_0| [/mm] > |x [mm] -x_0|$. [/mm]
>
> --------
>
> > Du musst noch die Ausgangsbedingung [mm]\delta <|x_0|[/mm]
> > hinzunehmen, also
> >
> > [mm]\delta = \max\(\frac{\varepsilon*|x_{0}|^{2}}{1+\varepsilon*|x_{0}|},x_0\)[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, warum dadurch [mm]\delta[/mm] < [mm]|x_{0}|[/mm]
> gewährleistet ist. Der erste Term im "max" könnte doch
> größer sein?
Sorry, ich wollte min schreiben, nicht max...
>
> > > 2. Frage: Das scheint mir sehr kompliziert zu sein, für
> > > so eine einfache Funktion wie 1/x. Geht das mit der
> > > [mm]\varepsilon-\delta-Variante[/mm] noch einfacher?
> >
> > Ich würde mich von vorneherein auf [mm]\delta < |x_0|/2[/mm]
> > einschränken. Damit ist [mm]|x| > |x_0|/2[/mm] und
>
> Ich verstehe nicht, wieso ich diese Einschränkung machen
> darf.
Wenn du ein [mm] $\delta$ [/mm] findest, so darfst du immer einen kleineren Wert wählen. Das ist dieselbe Aussage wie oben, dass es nur um das Verhalten in einer beliebig kleinen, aber endlichen [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] geht. Angenommen, es wäre für eine [mm] $\delta_1>0$
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] $|x-x_0|<\delta_1$,
[/mm]
dann gilt natürlich für jedes [mm] $\delta_2>0$ [/mm] mit [mm] $\delta_2<\delta_1$, [/mm] dass
[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] $|x-x_0|<\delta_2$.
[/mm]
Daher darfst du dich von vorneherein auf eine bestimmte [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] beschränken.
> > [mm]\left|f(x)-f(x_{0})\right| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}\right| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|*|x_{0}|} < \bruch{2}{x_0^2} |x-x_{0}| [/mm],
>
> >
> > also
> >
> > [mm]\delta = \max\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm].
Und hier sollte es natürlich auf min heißen, nicht max!
Viele Grüße
Rainer
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