1/z und Argument < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Di 17.04.2012 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe 1 | Sei [mm]z=r(cos\,\phi + i\, sin\, \phi)[/mm] wobei [mm]r>0, \phi \in \IR [/mm]. Erinnern Sie sich daran, dass für [mm]\alpha, \beta \in \IR [/mm] gilt:
[mm]cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\,cos \beta - sin \alpha\, sin \beta [/mm] und [mm]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\, cos \beta + cos \alpha\, sin \beta [/mm]
Benutzen Sie diese Regeln um zu zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{z} = \bruch {1}{r} \left(cos \left(\phi\right) +i sin \left(\phi\right)\right)[/mm] |
| Aufgabe 2 | Geben Sie für die komplexe Zahl z und gegebenes n die n-Wurzel an
z=3-2i n=3 |
zu Aufgabe 1
ich weiß irgendwie nicht, wie ich die beiden Formeln da benutzen soll bzw. welchen Ansatz ich dafür verwenden muss. In meinem Beweis ist das nicht nötig 
Ich habe einfach 1:z gerechnet und das dann als Polarkoordinaten geschrieben. Der Beweis scheint mir richtig, aber ich verwende nicht die gewünschten Eigenschaften...
zu Aufgabe 2
hier würde ich gerne wissen, welches Argument z hat. Mit [mm]arctan \left(\bruch{2}{3}\right) \approx 33,69°[/mm] habe ich natürlich eins gefunden, aber ich würde das gerne mit [mm] \pi[/mm] ausdrücken, aber komme einfach nicht auf den Ausdruck. Gibt es denn einen?
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Hallo,
Aufgabe 1) sollte erst einmal auf Richtigkeit geprüft werden. So wie sie dasteht, ist sie falsch. Kann es sein, dass da entweder Minuszeichen vor dem Argument stehen, oder dass die Behauptung so heißt:
[mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{r}*(cos(\phi)-i*sin(\phi))
[/mm]
?
Zu Aufgabe 2): nein einen solchen Wert gibt es i.A. nicht. Du kannst das Resultat natürlich noch durch [mm] \pi [/mm] dividieren, aber das liefert ja auch wieder nur eine Näherung.
Du solltet hier aber inbesondere bedenken, dass es drei Lösungen gibt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Di 17.04.2012 | | Autor: | ella87 |
Oh, ich habe allerdings die Aufgabe falsch abgeschrieben, sorry!
es soll natürlich folgendes gezeigt werden
[mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{r}\cdot{}(cos(-\phi)+i\cdot{}sin(-\phi)) [/mm]
und bei der 2. Aufgabe hast du mir schon weiter geholfen, danke. Das war Teilaufgabe d und bei den anderen Teilaufgaben konnte man so schön mit [mm]\pi[/mm] rechnen.
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Hallo,
ok, dann zu der ersten Aufgabe. Diese ist kinderleicht, wenn man den trigonometrischen Pythagoras:
[mm] sin^2\phi+cos^2\phi=1
[/mm]
kennt und verwendet. Mehr darf man eigentlich nicht sagen, wenn man nicht alles verraten möchte. Außer den Hinweis auf die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus vielleicht noch... 
Was ich da allerdings auch nicht verstehe ist, wozu man den Hinweis benötigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 17.04.2012 | | Autor: | ella87 |
ganz so einfach ist es scheinbar doch nicht.... oder ich stehe auf dem Schlauch!
wie fange ich denn an? ich muss ja irgendwie aus dem einen Winkel [mm] \phi[/mm] die beiden Winkle [mm] \alpha, \beta[/mm] machen, sonst brauche ich ja die ganzen Umformungen nicht!
setze ich dann einfach [mm]\phi = \alpha + \beta[/mm] und warum mache ich das?
ich hab das so probiert und dann einfach gerechnet, aber ich bekomme dann die Umwandlung zu [mm]- \phi[/mm] nicht hin.
ist der Ansatz denn korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> ganz so einfach ist es scheinbar doch nicht.... oder
> ich stehe auf dem Schlauch!
Da stehst Du ganz gewaltig drauf !
Ich schreibe mal t statt [mm] \phi
[/mm]
Es ist also z=r(cos(t)+isin(t)) und zeigen sollst Du:
$ [mm] \bruch{1}{z}= \bruch{1}{r}(cos(-t)+isin(-t))$
[/mm]
Dazu setze [mm] $w:=\bruch{1}{r}(cos(-t)+isin(-t))$. [/mm] Wenn Du zeigen kannst, das zw=1 gilt, bist Du fertig.
Also rechne einfach mal stur das Produkt zw aus. Beherzige 3 Dinge:
1. cos(-t)=cos(t)
2. sin(-t)=-sin(t)
3. Hinweis von Diophant.
Wenn Du alles richtig machst, bekommst Du so umgehend wie geschwind: zw=1.
FRED
>
> wie fange ich denn an? ich muss ja irgendwie aus dem einen
> Winkel [mm]\phi[/mm] die beiden Winkle [mm]\alpha, \beta[/mm] machen, sonst
> brauche ich ja die ganzen Umformungen nicht!
> setze ich dann einfach [mm]\phi = \alpha + \beta[/mm] und warum
> mache ich das?
> ich hab das so probiert und dann einfach gerechnet, aber
> ich bekomme dann die Umwandlung zu [mm]- \phi[/mm] nicht hin.
> ist der Ansatz denn korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 17.04.2012 | | Autor: | ella87 |
danke, das stimmt allerdings
das große ABER ist allerdings, dass ich dafür die beiden Regeln der Aufgabenstellung überhaupt nicht brauche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke, das stimmt allerdings
>
> das große ABER ist allerdings, dass ich dafür die beiden
> Regeln der Aufgabenstellung überhaupt nicht brauche...
Ja, das hat Diophant ja schon gesagt.
FRED
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