2-dim.Taylorformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Seien f [mm] \in C^{\infty}(\IR^2;\IR) [/mm] und g(x):=f(sin(x),cos(x)). Mit Hilfe der partiellen Ableitungen von f geben Sie die Taylorformel von g in 0 bis zur 2.Ordnung an. |
Hallo,
leider verstehe ich die Aufgabenstellung (anscheinend) nicht so ganz und kann die Aufgabe auch anhand 2 verschiedener korrigierter Lösungen (u.a. meine natürlich) - die aber beide teilweise falsch sind, NICHT lösen :-(. Mein Problem ist, dass ich überhaupt nichts über die beiden Funktionen weiß (außer dass f unendlich oft stetig diff.bar is).
Also zuerst mal brauch ich ja für die Taylorformel den Wert von g(x) an der Stelle 0. Der ist gleich dem Wert der Funktion f an der Stelle (0,1) (da (sin(0)=0, cos(0)=1). Das habe ich sogar selber noch hingekriegt.
Aber dann gehts eigentlich schon los (mit den Problemen). Die erste Ableitung von g(x) an der Stelle 0: ist ja gleich der BEIDEN partiellen Ableitungen von f, oder nicht? Weil g zwar nur von einer Variablen abhängt, f aber von zwei. Soweit noch (halbwegs) klar. Also muss ich f erst nach sin(x) und dann noch nach cos(x) ableiten. Ich habe einfach die 1.Ableitung von g nach x gleich grad f = [mm] (\bruch{\partial f}{\partial sin(x)} [/mm] , [mm] \bruch{\partial f}{\partial cos(x)} \gesetzt. [/mm] Das ist aber anscheined falsch. Der Korrektor hat es unterringelt und darüber geschrieben: g: [mm] \IR \Rightarrow \IR [/mm] , g=f [mm] \circ [/mm] h [mm] \Rightarrow [/mm] g' = Dh(Df) [mm] \circ [/mm] h. Okay, das ist einfach die Kettenregel, die kenn ich, die ist mir auch klar. (schöner geschrieben. g'(x) = (f [mm] \circ [/mm] h)'(x) = f'(h(x))*h'(x) ). Nicht so klar ist mir jedoch, was denn überhaupt das h ist. bzw.: anscheinend ist mir nicht so klar, was die Notation f(sin(x), cos(x)) denn hier überhaupt bedeutet. Also ich hätte das so aufgefasst, dass f einfach eine Funktion ist, die von 2 Variablen abhängt. Diese beiden Variablen sind aber wiederrum Funktionen. Aber das heißt ja NICHT dass f eine Verkettung von zwei Funktionen ist, sondern dass man 2 Funktionen darin einsetzt! also g(x)= [mm] f(h_1(x), h_2(x)). [/mm] Aber ich verstehe einfach nicht, wie man auf g= [mm] f\circ [/mm] h kommt.
Dann weiter. Ein ehemaliger Kommilitone von mir hat dann dastehen (Fortsetzung von der 1.Ableitung von g(x). g'(x) = [mm] (\bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial sin(x)}, \bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial cos(x)}*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)} [/mm] = [mm] (\bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial sin(x)}*cos(x) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial cos(x)}*(-sin(x)).
[/mm]
Das kann ich aber schon gar nicht mehr nachvollziehen (also den Schritt natürlich sehr wohl, aber WARUM man den macht nicht!der ist ja unterringelt. Unter dem geringelten hat der Korrektor geschrieben: "sonst richtig, ab hier Folgefehler") und ich kann den auch nicht fragen, weil ich gar keinen Kontakt mehr zu dem habe. Kann mir vllt. jemand weiterhelfen...?
Wäre sehr nett!!!
Danke schonmal!
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:05 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, kurzer Hinweis: schau dir die Taylorformel an, dann schau dir deine Funktion an(nicht f verknüpft mit g) und dann setzte das in die Formel dafür ein und natürlich den Punkt einsetzen nicht vergessen. Dann schaffst du auch das Taylorpolynom 2. Ordnungs aufzustellen.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Seien f [mm] \in C^{\infty}(\IR^2;\IR) [/mm] und g(x):=f(sin(x),cos(x)). Mit Hilfe der partiellen Ableitungen von f geben Sie die Taylorformel von g in 0 bis zur 2.Ordnung an. |
Hallo,
Danke für den Tipp! Also, ich bin mir nicht ganz sicher, ob es jetzt so richtig ist:
Die m-dimensionale Taylorformel lautet ja wie folgt:
Für f [mm] \in C^{k+1}(U), [/mm] U [mm] \subset \IR^m [/mm] offen und konvex, a, x [mm] \in [/mm] U und v:=x-a gilt:
f(x) = f(a) + [mm] \partial_v [/mm] f(a) + [mm] \bruch{\partial^{(2)}_v f(a)}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\partial^{(k)}_v)}{k!} [/mm] + [mm] R_{k+1}
[/mm]
= f(a) + [mm] \bruch{\partial f(a)}{\partial x-a} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 f(a)}{\partial (x-a)2} [/mm] (bedeutet natürlich die 2.partielle Ableitung nach (x-a)! und hat nichts mit [mm] (x-a)^2 [/mm] zu [mm] tun!)*\bruch{1}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\partial^k f(a)}{\partial (x-a)^2}\bruch{\partial f(a)}{\partial x-a} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^3 f(a)}{\partial (x-a)^3}*\bruch{1}{3!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\partial^k f(a)}{\partial (x-a)^k}*\bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] R_{k+1} [/mm] (das Restglied müssen wir nicht angeben nur (in dem Fall) als [mm] R_3 [/mm] aufschreiben).
Die Aufgabenstellung hab ich oben nochmal hingeschrieben. In unserem Skript habe ich außerdem folgenden Satz dazu gefunden: Wir führen die merhdimensionale Situation auf die eindimensionale zurück, indem wir für x [mm] \in [/mm] U die Funktion auf der Strecke zwischen a und x untersuchen, d.h.: h(t) := f(a+t(x-a)) t [mm] \in [/mm] [0,1]. Dazu muss der Definitionsbereich U von f natürlich das Bild h([0,1]) dieser Kurve enthalten.
Also hier haben wir ja a=0 (oder?? und das x ist die Variable in g (g(x)) bzw. IN den Variablen (=Funktionen) [mm] f_1(x), f_2(x) [/mm] von f, richtig?
[mm] \Rightarrow T_{2,g} [/mm] = g(0) + [mm] \bruch{\partial f(a)}{\partial x-0} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 g(0)}{\partial (x-a)2} *\bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] R_3 [/mm] =
f(0,1) + [mm] \bruch{\partial f(0,1)}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 f(0,1)}{\partial x^2} *\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] R_3 [/mm] =
f(0,1) + [mm] \bruch{\partial}{\partialx}*f(sin(x),cos(x)) [/mm] + [mm] 0,5*\bruch{\partial^2 f(sin(x), cos(x))}{\partialx^2}f(sin(x),cos(x)) [/mm] + [mm] R_3 [/mm] =
f(0,1)+f(sin'(0),cos'(0)) + [mm] \bruch{partial}{partialx}*f(cos(0),-sin(0))+R_3 [/mm] =
[mm] f(0,1)+f(cos(0),-sin(0))+f(cos'(0),(-sin)'(0))+R_3 [/mm] =
f(0,1)+f(1,0) [mm] +0,5*f(sin(0),-cos(0))+R_3 [/mm] =
f(0,1)+f(1,0)+0,5*f(0, [mm] -1)+R_3 [/mm]
So. Jetzt erinnere ich mich auch, das ich selbst das in der Klausur damals so gemacht hatte. Hab da nur leider die Ableitungen von Sinus und Kosinus durcheinander gehaun gehabt, deswegen war die ganze Aufgabe falsch (hatte auch zu wenig Zwischenschritte hingeschrieben gehabt - im Gegensatz zu hier ^^).
Kann man das denn jetzt eigentlich noch weiter vereinfachen? Und viel wichtiger: Ist das denn jetzt richtig so???
lG
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Hallo a_la_fin,
> Seien f [mm]\in C^{\infty}(\IR^2;\IR)[/mm] und
> g(x):=f(sin(x),cos(x)). Mit Hilfe der partiellen
> Ableitungen von f geben Sie die Taylorformel von g in 0 bis
> zur 2.Ordnung an.
> Hallo,
> Danke für den Tipp! Also, ich bin mir nicht ganz sicher,
> ob es jetzt so richtig ist:
> Die m-dimensionale Taylorformel lautet ja wie folgt:
> Für f [mm]\in C^{k+1}(U),[/mm] U [mm]\subset \IR^m[/mm] offen und konvex,
> a, x [mm]\in[/mm] U und v:=x-a gilt:
> f(x) = f(a) + [mm]\partial_v[/mm] f(a) + [mm]\bruch{\partial^{(2)}_v f(a)}{2!}[/mm]
> + ... + [mm]\bruch{\partial^{(k)}_v)}{k!}[/mm] + [mm]R_{k+1}[/mm]
> = f(a) + [mm]\bruch{\partial f(a)}{\partial x-a}[/mm] +
> [mm]\bruch{\partial^2 f(a)}{\partial (x-a)2}[/mm] (bedeutet
> natürlich die 2.partielle Ableitung nach (x-a)! und hat
> nichts mit [mm](x-a)^2[/mm] zu [mm]tun!)*\bruch{1}{2!}[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{\partial^k f(a)}{\partial (x-a)^2}\bruch{\partial f(a)}{\partial x-a}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial^3 f(a)}{\partial (x-a)^3}*\bruch{1}{3!}[/mm] +
> ... + [mm]\bruch{\partial^k f(a)}{\partial (x-a)^k}*\bruch{1}{k!}[/mm]
> + [mm]R_{k+1}[/mm] (das Restglied müssen wir nicht angeben nur (in
> dem Fall) als [mm]R_3[/mm] aufschreiben).
> Die Aufgabenstellung hab ich oben nochmal hingeschrieben.
> In unserem Skript habe ich außerdem folgenden Satz dazu
> gefunden: Wir führen die merhdimensionale Situation auf
> die eindimensionale zurück, indem wir für x [mm]\in[/mm] U die
> Funktion auf der Strecke zwischen a und x untersuchen,
> d.h.: h(t) := f(a+t(x-a)) t [mm]\in[/mm] [0,1]. Dazu muss der
> Definitionsbereich U von f natürlich das Bild h([0,1])
> dieser Kurve enthalten.
> Also hier haben wir ja a=0 (oder?? und das x ist die
> Variable in g (g(x)) bzw. IN den Variablen (=Funktionen)
> [mm]f_1(x), f_2(x)[/mm] von f, richtig?
> [mm]\Rightarrow T_{2,g}[/mm] = g(0) + [mm]\bruch{\partial f(a)}{\partial x-0}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial^2 g(0)}{\partial (x-a)2} *\bruch{1}{2!}[/mm] +
> [mm]R_3[/mm] =
Das muss doch hier so lauten:
[mm]T_{2,g}=g\left(0\right)+\left \bruch{dg}{dx}\right|_{a=0}*\left(x-a\right)+\left \bruch{1}{2!}\bruch{d^{2}g}{dx^{2}}\right|_{a=0}*\left(x-a\right)^{2}+R_{3}[/mm]
"d" deshalb, weil g nur von einer Variablen abhängt.
> f(0,1) + [mm]\bruch{\partial f(0,1)}{\partial x}[/mm] +
> [mm]\bruch{\partial^2 f(0,1)}{\partial x^2} *\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]R_3[/mm]
> =
> f(0,1) + [mm]\bruch{\partial}{\partialx}*f(sin(x),cos(x))[/mm] +
> [mm]0,5*\bruch{\partial^2 f(sin(x), cos(x))}{\partialx^2}f(sin(x),cos(x))[/mm]
> + [mm]R_3[/mm] =
Dasselbe hier:
[mm]=f\left(0,1\right)+\left \bruch{df\left(\sin\left(x\right),\cos\left(x\right)\right)}{dx}\right|_{a=0}*\left(x-a\right)+\left \bruch{1}{2!}\bruch{d^{2}f\left(\sin\left(x\right),\cos\left(x\right)\right)}{dx^{2}}\right|_{a=0}*\left(x-a\right)^{2}+R_{3}[/mm]
> f(0,1)+f(sin'(0),cos'(0)) +
> [mm]\bruch{partial}{partialx}*f(cos(0),-sin(0))+R_3[/mm] =
> [mm]f(0,1)+f(cos(0),-sin(0))+f(cos'(0),(-sin)'(0))+R_3[/mm] =
> f(0,1)+f(1,0) [mm]+0,5*f(sin(0),-cos(0))+R_3[/mm] =
> f(0,1)+f(1,0)+0,5*f(0, [mm]-1)+R_3[/mm]
>
> So. Jetzt erinnere ich mich auch, das ich selbst das in der
> Klausur damals so gemacht hatte. Hab da nur leider die
> Ableitungen von Sinus und Kosinus durcheinander gehaun
> gehabt, deswegen war die ganze Aufgabe falsch (hatte auch
> zu wenig Zwischenschritte hingeschrieben gehabt - im
> Gegensatz zu hier ^^).
> Kann man das denn jetzt eigentlich noch weiter
> vereinfachen? Und viel wichtiger: Ist das denn jetzt
> richtig so???
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> lG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Aaaalso.
es ist doch so: ich habe die Funktion g(x). Die hängt von einer Variablen ab, nämlich x. Diese Funktion kenne ich nicht, aber ich weiß, dass sie gleich einer anderen Funktion ist, nämlich f(sin(x), cos(x)). Diese Funktion hängt statt von 2 Variablen von 2 Funktionen ab, die von x abhängen.
So, wenn es so WÄRE, dass f nur von x abhängen würde (also z.B. g(x)= f(sin(x)) dann wüsste ich wenigstens teilweise, wie ich es machen müsste. Dann wäre die Funktion g(x) die Verkettung von f und h mit h(x) = sin(x), oder??, also g = f [mm] \circ [/mm] h. Dann würde ich ganz einfach die Kettenregel anwenden. Aber was heißt hier ganz einfach - ich KANN die Kettenregel doch hier gar nicht anwenden, weil ich ja weder weiß wie die Funktion f noch wie die Funktion g aussieht. Wie soll ich denn da überhaupt irgendetwas ableiten?? Und dazu kommt eben noch, dass ich ja nicht nur h habe sondern [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] := cos(x).
Ich zerbreche mir darüber schon die ganze Zeit den Kopf und komme einfach nicht weiter. Ich habe extra nochmal ausführlich nachgelesen, wie man Funktion, die die Verkettung aus 2 anderen Funktionen ist ableitet (auch wenn diese aus und in völlig verschiedene Dimensionen abbilden, z.B. : f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] und [mm] h:\IR \rightarrow \IR^2 [/mm] Dann würde die Funktion [mm] g_1 [/mm] := h [mm] \circ [/mm] f vom [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] abbilden, also [mm] g_1: \IR^2 \rightarrow \IR^2. [/mm] Oder [mm] g_2 [/mm] := f [mm] \circ [/mm] h diese würde dann von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] abbilden. Das kann man ja beiden berechnen... WENN man die Funktionen kennt! Wie ich kenn doch aber nur die eine, bzw. 2 und das verwirrt mich eben KOMPLETT grade dass ich auch noch statt einer 2 "gleichwertige" Funktionen habe. wie sieht die Verknüpfung denn in diesem Fall allgemein überhaupt aus?? etwa g = f [mm] \circ (h_1 \circ h_2) [/mm] ?? Nein, denn [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] sind ja gar nicht miteinander verkettet!!
Mir wird das jetzt langsam echt zu blöd, ich glaub ich brauch ne Pause :-(((
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Hallo a_la_fin,
> Aaaalso.
>
> es ist doch so: ich habe die Funktion g(x). Die hängt von
> einer Variablen ab, nämlich x. Diese Funktion kenne ich
> nicht, aber ich weiß, dass sie gleich einer anderen
> Funktion ist, nämlich f(sin(x), cos(x)). Diese Funktion
> hängt statt von 2 Variablen von 2 Funktionen ab, die von x
> abhängen.
Stimmt.
>
> So, wenn es so WÄRE, dass f nur von x abhängen würde
> (also z.B. g(x)= f(sin(x)) dann wüsste ich wenigstens
> teilweise, wie ich es machen müsste. Dann wäre die
> Funktion g(x) die Verkettung von f und h mit h(x) = sin(x),
h ist hier ein Vektor: [mm]h\left(x\right)=\left( \ \sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right) \ \right)^{T}[/mm]
> oder??, also g = f [mm]\circ[/mm] h. Dann würde ich ganz einfach
> die Kettenregel anwenden. Aber was heißt hier ganz einfach
> - ich KANN die Kettenregel doch hier gar nicht anwenden,
> weil ich ja weder weiß wie die Funktion f noch wie die
> Funktion g aussieht. Wie soll ich denn da überhaupt
> irgendetwas ableiten?? Und dazu kommt eben noch, dass ich
Für die Ableitung ist es nicht notwendig, die Funktion f zu kennen.
> ja nicht nur h habe sondern [mm]h_1[/mm] und [mm]h_2[/mm] := cos(x).
Die Kettenregel kannst auch hier anwenden.
Nach obigen Definition ist
[mm]g\left(x\right)=f\left( \ h_{1}\left(x\right), \ h_{2}\left(x\right) \ \right)[/mm]
Dann ergibt sich die Ableitung nach der verallgemeinerten Kettenregel:
[mm]\bruch{dg}{dx}=\bruch{\partial f}{\partial h_{1}}\bruch{dh_{1}}{dx}+\bruch{\partial f}{\partial h_{2}}\bruch{dh_{2}}{dx}[/mm]
>
> Ich zerbreche mir darüber schon die ganze Zeit den Kopf
> und komme einfach nicht weiter. Ich habe extra nochmal
> ausführlich nachgelesen, wie man Funktion, die die
> Verkettung aus 2 anderen Funktionen ist ableitet (auch wenn
> diese aus und in völlig verschiedene Dimensionen abbilden,
> z.B. : f: [mm]\IR^2 \rightarrow \IR[/mm] und [mm]h:\IR \rightarrow \IR^2[/mm]
> Dann würde die Funktion [mm]g_1[/mm] := h [mm]\circ[/mm] f vom [mm]\IR^2[/mm] in den
> [mm]\IR^2[/mm] abbilden, also [mm]g_1: \IR^2 \rightarrow \IR^2.[/mm] Oder [mm]g_2[/mm]
> := f [mm]\circ[/mm] h diese würde dann von [mm]\IR[/mm] in [mm]\IR[/mm] abbilden. Das
> kann man ja beiden berechnen... WENN man die Funktionen
> kennt! Wie ich kenn doch aber nur die eine, bzw. 2 und das
> verwirrt mich eben KOMPLETT grade dass ich auch noch statt
> einer 2 "gleichwertige" Funktionen habe. wie sieht die
> Verknüpfung denn in diesem Fall allgemein überhaupt aus??
> etwa g = f [mm]\circ (h_1 \circ h_2)[/mm] ?? Nein, denn [mm]h_1[/mm] und [mm]h_2[/mm]
> sind ja gar nicht miteinander verkettet!!
>
> Mir wird das jetzt langsam echt zu blöd, ich glaub ich
> brauch ne Pause :-(((
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Do 28.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
DANKE für die Antwort!!!
Die Knackpunkte / Stellen, an denen es bei mir gehakt hatte, waren:
> h ist hier ein Vektor: [mm]h\left(x\right)=\left( \ \sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right) \ \right)^{T}[/mm]
>
> Für die Ableitung ist es nicht notwendig, die Funktion f
> zu kennen.
>
> Die Kettenregel kannst auch hier anwenden.
>
> Nach obigen Definition ist
>
> [mm]g\left(x\right)=f\left( \ h_{1}\left(x\right), \ h_{2}\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
und dass ich die verallgemeinerte Kettenregel s.u. gar nicht kannte (!!!) Autsch, da hatte ich wohl was verpasst...
> Dann ergibt sich die Ableitung nach der verallgemeinerten
> Kettenregel:
>
> [mm]\bruch{dg}{dx}=\bruch{\partial f}{\partial h_{1}}\bruch{dh_{1}}{dx}+\bruch{\partial f}{\partial h_{2}}\bruch{dh_{2}}{dx}[/mm]
>
Jetzt krieg ich die Aufgabe selbst hin / konnte die Lösung meines Kommilitonen (soweit sie richtig war) nachvollziehen 
lG
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Hallo a_la_fin,
> Seien f [mm]\in C^{\infty}(\IR^2;\IR)[/mm] und
> g(x):=f(sin(x),cos(x)). Mit Hilfe der partiellen
> Ableitungen von f geben Sie die Taylorformel von g in 0 bis
> zur 2.Ordnung an.
> Hallo,
>
> leider verstehe ich die Aufgabenstellung (anscheinend)
> nicht so ganz und kann die Aufgabe auch anhand 2
> verschiedener korrigierter Lösungen (u.a. meine
> natürlich) - die aber beide teilweise falsch sind, NICHT
> lösen :-(. Mein Problem ist, dass ich überhaupt nichts
> über die beiden Funktionen weiß (außer dass f unendlich
> oft stetig diff.bar is).
>
> Also zuerst mal brauch ich ja für die Taylorformel den
> Wert von g(x) an der Stelle 0. Der ist gleich dem Wert der
> Funktion f an der Stelle (0,1) (da (sin(0)=0, cos(0)=1).
> Das habe ich sogar selber noch hingekriegt.
> Aber dann gehts eigentlich schon los (mit den Problemen).
> Die erste Ableitung von g(x) an der Stelle 0: ist ja gleich
> der BEIDEN partiellen Ableitungen von f, oder nicht? Weil g
Nein.
> zwar nur von einer Variablen abhängt, f aber von zwei.
> Soweit noch (halbwegs) klar. Also muss ich f erst nach
> sin(x) und dann noch nach cos(x) ableiten. Ich habe einfach
> die 1.Ableitung von g nach x gleich grad f =
> [mm](\bruch{\partial f}{\partial sin(x)}[/mm] , [mm]\bruch{\partial f}{\partial cos(x)} \gesetzt.[/mm]
> Das ist aber anscheined falsch. Der Korrektor hat es
> unterringelt und darüber geschrieben: g: [mm]\IR \Rightarrow \IR[/mm]
> , g=f [mm]\circ[/mm] h [mm]\Rightarrow[/mm] g' = Dh(Df) [mm]\circ[/mm] h. Okay, das
> ist einfach die Kettenregel, die kenn ich, die ist mir auch
> klar. (schöner geschrieben. g'(x) = (f [mm]\circ[/mm] h)'(x) =
> f'(h(x))*h'(x) ). Nicht so klar ist mir jedoch, was denn
> überhaupt das h ist. bzw.: anscheinend ist mir nicht so
> klar, was die Notation f(sin(x), cos(x)) denn hier
> überhaupt bedeutet. Also ich hätte das so aufgefasst,
> dass f einfach eine Funktion ist, die von 2 Variablen
> abhängt. Diese beiden Variablen sind aber wiederrum
> Funktionen. Aber das heißt ja NICHT dass f eine Verkettung
> von zwei Funktionen ist, sondern dass man 2 Funktionen
> darin einsetzt! also g(x)= [mm]f(h_1(x), h_2(x)).[/mm] Aber ich
> verstehe einfach nicht, wie man auf g= [mm]f\circ[/mm] h kommt.
Nun, die Verkettung ist ja gerade so definiert:
[mm]\left( f \circ h\right)\left(x\right):=f\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
> Dann weiter. Ein ehemaliger Kommilitone von mir hat dann
> dastehen (Fortsetzung von der 1.Ableitung von g(x). g'(x) =
> [mm](\bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial sin(x)}, \bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial cos(x)}*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)}[/mm]
> = [mm](\bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial sin(x)}*cos(x)[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f(sin(x), cos(x))}{\partial cos(x)}*(-sin(x)).[/mm]
>
> Das kann ich aber schon gar nicht mehr nachvollziehen (also
> den Schritt natürlich sehr wohl, aber WARUM man den macht
> nicht!der ist ja unterringelt. Unter dem geringelten hat
> der Korrektor geschrieben: "sonst richtig, ab hier
> Folgefehler") und ich kann den auch nicht fragen, weil ich
> gar keinen Kontakt mehr zu dem habe. Kann mir vllt. jemand
> weiterhelfen...?
> Wäre sehr nett!!!
>
> Danke schonmal!
> lG
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:14 Fr 29.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
g'(x) = [mm] \bruch{d}{dx}g(x) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}f(h(x))*\bruch{d}{dx}h(x) [/mm] =
[mm] \bruch{d}{dx}(f(h_1(x), h_2(x))*\vektor{\bruch{dh_1(x)}{dx} \\ \bruch{dh_2(x)}{dx}} [/mm] =
[mm] \bruch{d*f(sin(x),cos(x))}{dx}*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)} [/mm]
= [mm] (\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)},\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)})*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)} [/mm] =
[mm] \bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}*cos(x) [/mm] - [mm] sin(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g'(0) = [mm] \bruch{\partial f(sin(0),cos(0))}{\partial*sin(0)}*cos(0) [/mm] - [mm] sin(0)*\bruch{\partial*f(sin(0),cos(1))}{\partial*cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}*1 [/mm] - [mm] 0*\bruch{\partial*f(0,0)}{\partial*cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}
[/mm]
g''(x) = [mm] \bruch{d}{dx}g'(x) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}*cos(x) [/mm] - [mm] sin(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}) [/mm] =
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})*cos(x) [/mm] + [mm] cos'(x)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}) [/mm] - ( [mm] sin'(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}+ \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x) [/mm] ) =
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})*cos(x) -sin(x)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}) [/mm] - [mm] cos(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x)) [/mm] = ... bevor ich versuche, das weiter zu vereinfachen, setze ich erstmal dort, wo ich es machen darf, den Wert für x ein, dann dürfte wohl schon einiges wegfallen, hoffe ich:
[mm] \Rightarrow [/mm] g''(0) = [mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(0),cos(0))}{\partial*sin(x)})*cos(0) -sin(0)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}) [/mm] - [mm] cos(0)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x)) [/mm] =
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)})*1 -0*(\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}) [/mm] - [mm] 1*\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}*0) [/mm] =
[mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)} [/mm] = ... wie vereinfache ich das jetzt weiter? geht das überhaupt? die Quotientenregel kann ich hier ja NICHt anwenden oder, sondern ich müsste nochmal eine Kettenregel nehmen?
Die Taylorformel wäre dann so ca. :
[mm] T_{0,2} [/mm] g(x) = f(0,1) + [mm] \bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}*x [/mm] + [mm] \bruch{...}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] R_3
[/mm]
Ist denn bis dahin überhaupt alles soweit richtig?
lG
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Hallo a_la_fin,
> g'(x) = [mm]\bruch{d}{dx}g(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dx}f(h(x))*\bruch{d}{dx}h(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dx}(f(h_1(x), h_2(x))*\vektor{\bruch{dh_1(x)}{dx} \\ \bruch{dh_2(x)}{dx}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{d*f(sin(x),cos(x))}{dx}*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)}[/mm]
> = [mm](\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)},\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)})*\vektor{cos(x) \\ -sin(x)}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}*cos(x)[/mm] -
> [mm]sin(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g'(0) = [mm]\bruch{\partial f(sin(0),cos(0))}{\partial*sin(0)}*cos(0)[/mm]
> - [mm]sin(0)*\bruch{\partial*f(sin(0),cos(1))}{\partial*cos(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}*1[/mm] -
> [mm]0*\bruch{\partial*f(0,0)}{\partial*cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}[/mm]
>
> g''(x) = [mm]\bruch{d}{dx}g'(x)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)}*cos(x)[/mm]
> -
> [mm]sin(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)})[/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})*cos(x)[/mm]
> + [mm]cos'(x)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})[/mm]
> - (
> [mm]sin'(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}+ \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x)[/mm]
> ) =
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})*cos(x) -sin(x)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})[/mm]
> - [mm]cos(x)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x))[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = ... bevor ich versuche, das weiter zu vereinfachen, setze
> ich erstmal dort, wo ich es machen darf, den Wert für x
> ein, dann dürfte wohl schon einiges wegfallen, hoffe ich:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g''(0) = [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(0),cos(0))}{\partial*sin(x)})*cos(0) -sin(0)*(\bruch{\partial f(sin(x),cos(x))}{\partial*sin(x)})[/mm]
> - [mm]cos(0)*\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(x),cos(x))}{\partial*cos(x)}*sin(x))[/mm]
> =
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)})*1 -0*(\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)})[/mm]
> - [mm]1*\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}[/mm] -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}*0)[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}[/mm] -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}[/mm] = ...
> wie vereinfache ich das jetzt weiter? geht das überhaupt?
> die Quotientenregel kann ich hier ja NICHt anwenden oder,
> sondern ich müsste nochmal eine Kettenregel nehmen?
Ja, die Kettenregel muß nochmal angewandt werden.
>
> Die Taylorformel wäre dann so ca. :
> [mm]T_{0,2}[/mm] g(x) = f(0,1) + [mm]\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}*x[/mm]
> + [mm]\bruch{...}{2!}*x^2[/mm] + [mm]R_3[/mm]
>
> Ist denn bis dahin überhaupt alles soweit richtig?
Bis hierhin ist das richtig.
Bevor Du g''(0) bilden kannst, mußt Du erst die erste und
zweite Ableitung von g an einer beliebigen Stelle x bestimmen.
>
> lG
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
> > [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}[/mm] -
> > [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}[/mm] = ...
> > wie vereinfache ich das jetzt weiter? geht das überhaupt?
> > die Quotientenregel kann ich hier ja NICHt anwenden oder,
> > sondern ich müsste nochmal eine Kettenregel nehmen?
>
>
> Ja, die Kettenregel muß nochmal angewandt werden.
Und wie? einzeln auf beide Terme? Und wende ich die an, bevor oder nachdem ich a eingesetzt habe??
>
> Bevor Du g''(0) bilden kannst, mußt Du erst die erste und
> zweite Ableitung von g an einer beliebigen Stelle x
> bestimmen.
>
An einer beliebigen Stelle ungleich a also. Und natürlich kann ich sie nur an einer Stelle bilden, wo sie auch existiert.
Ich würde dann halt einen möglichst einfachen Wert für x nehmen, also z.B. 1. Da ich den hier ja aber in Sinus bzw. Kosinus einsetzen muss, und wir in der Klausur keinen Taschenrechner verwenden dürfen, nehme ich hier dann liber [mm] x=\bruch{\pi}{2}. [/mm] Wenn ich den in die allgemeine 1.Ableitung von g einsetzte, erhalte ich: [mm] -\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial sin(x)}*cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] - [mm] sin(\bruch{\pi}{2})*-\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f(1,0)}{\partial sin(x)}*0-1*\bruch{\partial f(1,0)}{\partial cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f(1,0)}{\partial cos(x)} [/mm]
vgl. mit g'(0) = [mm] \bruch{\partial f(0,1)}{\partial sin(x)}
[/mm]
so und dann die 2.Ableitung:
[mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*sin(x)})*cos(\bruch{\pi}{2}) -sin(\bruch{\pi}{2})*(\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*sin(x)})[/mm] - [mm]cos(\bruch{\pi}{2})*\bruch{\partial*f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*cos(x)}*sin(x))[/mm]
= [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(1,0)}{\partial*sin(x)})*0) -1*(\bruch{\partial f(1,0))}{\partial*sin(x)})[/mm] - [mm]0*\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)}[/mm] - [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)}*1)[/mm]
= [mm] -\bruch{\partial f(1,0))}{\partial*sin(x)} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)} [/mm]
vgl. mit g''(0) : [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)} [/mm] -
[mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}
[/mm]
Also ich habe den Punkt jetzt nirgends eingesetzt, wo ich nach cox(x) oder sin(x) ableiten muss, weil das würde ja keinen Sinn machen!, aber überall sonst. So, und nun?
In welcher Reihenfolge muss ich nun vorgehen? Muss ich Kettenregel jetzt auf die ALLGEMEINE Form oder auf die mit einem beliebigem (also hier [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] Punkt eingesetzt oder auf die Form, in der ich a=0 eingesetzt habe, anwenden??
Mir ist leider nicht so ganz klar, warum ich jetzt erst die 1.und 2.Abeitung in einem beliebigen Punkt bilden sollte. Was hat mir das denn jetzt überhaupt gebracht?
Ich bitte um schnelle Antwort, denn wir schreiben morgen (Nach-)Klausur und ich vermute sehr stark, dass ganz genau so eine Aufgabe drankommt, da die in der "richtigen" Klausur auch drankam und wir uns die (eigentlich ^^) NICHT kopieren durften und die nirgends online gestellt wurde.
lG
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Hallo a_la_fin,
> Hallo,
>
> > > [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}[/mm] -
> > > [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}[/mm] = ...
> > > wie vereinfache ich das jetzt weiter? geht das überhaupt?
> > > die Quotientenregel kann ich hier ja NICHt anwenden oder,
> > > sondern ich müsste nochmal eine Kettenregel nehmen?
> >
> >
> > Ja, die Kettenregel muß nochmal angewandt werden.
>
> Und wie? einzeln auf beide Terme? Und wende ich die an,
> bevor oder nachdem ich a eingesetzt habe??
>
Ich schreibe das mal etwas anders:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial h_{1}}=f_{h_1}\left(h_{1},h_{2}\right)[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{df_{h_{1}}}{dx}=\bruch{\partial f_{h_{1}}}{\partial h_{1}}*\bruch{dh_{1}}{dx}+\bruch{\partial f_{h_{1}}}{\partial h_{2}}*\bruch{dh_{2}}{dx}[/mm]
[mm]=f_{h_{1} h_{1}}* h_{1}'+f_{h_{1} h_{2}}* h_{2}'[/mm]
Analog für [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_{2}}=f_{h_2}\left(h_{1},h_{2}\right)[/mm]
> >
> > Bevor Du g''(0) bilden kannst, mußt Du erst die erste und
> > zweite Ableitung von g an einer beliebigen Stelle x
> > bestimmen.
> >
> An einer beliebigen Stelle ungleich a also. Und natürlich
> kann ich sie nur an einer Stelle bilden, wo sie auch
> existiert.
>
> Ich würde dann halt einen möglichst einfachen Wert für x
> nehmen, also z.B. 1. Da ich den hier ja aber in Sinus bzw.
> Kosinus einsetzen muss, und wir in der Klausur keinen
> Taschenrechner verwenden dürfen, nehme ich hier dann liber
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}.[/mm] Wenn ich den in die allgemeine
> 1.Ableitung von g einsetzte, erhalte ich: [mm]-\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial sin(x)}*cos(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> - [mm]sin(\bruch{\pi}{2})*-\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial cos(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial f(1,0)}{\partial sin(x)}*0-1*\bruch{\partial f(1,0)}{\partial cos(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial f(1,0)}{\partial cos(x)}[/mm]
> vgl. mit g'(0) = [mm]\bruch{\partial f(0,1)}{\partial sin(x)}[/mm]
>
> so und dann die 2.Ableitung:
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*sin(x)})*cos(\bruch{\pi}{2}) -sin(\bruch{\pi}{2})*(\bruch{\partial f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*sin(x)})[/mm]
> -
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2})*\bruch{\partial*f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*cos(x)}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(sin(\bruch{\pi}{2}),cos(\bruch{\pi}{2}))}{\partial*cos(x)}*sin(x))[/mm]
> = [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{\partial f(1,0)}{\partial*sin(x)})*0) -1*(\bruch{\partial f(1,0))}{\partial*sin(x)})[/mm]
> - [mm]0*\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)}[/mm] -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)}*1)[/mm]
> = [mm]-\bruch{\partial f(1,0))}{\partial*sin(x)}[/mm] -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(1,0)}{\partial*cos(x)}[/mm]
> vgl. mit g''(0) : [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial f(0,1)}{\partial*sin(x)}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{\partial*f(0,1)}{\partial*cos(x)}[/mm]
>
> Also ich habe den Punkt jetzt nirgends eingesetzt, wo ich
> nach cox(x) oder sin(x) ableiten muss, weil das würde ja
> keinen Sinn machen!, aber überall sonst. So, und nun?
> In welcher Reihenfolge muss ich nun vorgehen? Muss ich
> Kettenregel jetzt auf die ALLGEMEINE Form oder auf die mit
> einem beliebigem (also hier [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] Punkt
> eingesetzt oder auf die Form, in der ich a=0 eingesetzt
> habe, anwenden??
Wie schon erwähnt, zuerst bildest Du die allgemeine Form
der Ableitungen, dann setzt Du den gegebenen x-Wert ein.
>
> Mir ist leider nicht so ganz klar, warum ich jetzt erst die
> 1.und 2.Abeitung in einem beliebigen Punkt bilden sollte.
> Was hat mir das denn jetzt überhaupt gebracht?
Ich hab geschrieben, bilde die Ableitung erst allgemein,
und setze dann den Punkt ein, um den entwicklet wird.
>
> Ich bitte um schnelle Antwort, denn wir schreiben morgen
> (Nach-)Klausur und ich vermute sehr stark, dass ganz genau
> so eine Aufgabe drankommt, da die in der "richtigen"
> Klausur auch drankam und wir uns die (eigentlich ^^) NICHT
> kopieren durften und die nirgends online gestellt wurde.
>
> lG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Fr 29.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
So, um mir eine arge Schreibarbeit zu ersparen: ich verwende folgende Notation:
[mm] f_{h_1} [/mm] := [mm] \bruch{\partial f}{\partial h_1} [/mm] (analog [mm] f_{h_2})
[/mm]
[mm] f_{h_1}_{h_2} [/mm] := [mm] \bruch{\partial f}{\partial h_2}*f_{h_1} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial h_2}*\bruch{\partial f}{\partial h_1} [/mm] (analog [mm] f_{h_1}_{h_1} [/mm] usw.)
h'_1:= [mm] \bruch{d}{dx}*h_1(x) [/mm] (analog h'_2)
Dann ist die Lösung folgende:
g'(x) = [mm] f_{h_1}*h'_1+f_{h_2}*h'_2
[/mm]
g''(x) = [mm] f_{h_1}*h''_1 [/mm] + [mm] f_{h_1}_{h_1}*h'_1 [/mm] + [mm] f_{h_1}_{h_2}*h'_2 [/mm] + [mm] f_{h_2}*h''_2 [/mm] + [mm] f_{h_2}_{h_1}*h'_1 [/mm] + [mm] f_{h_2}_{h_2}*h'_2
[/mm]
h'_1(0) = 1, h''_1(0) = 0, h'_2(0) = 0, h''_2(0) = -1
[mm] \Rightarrow [/mm] g'(0) = [mm] f_{h_1}, [/mm] g''(0) = [mm] f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1} [/mm]
[mm] \Rightarrow T_{0,2} [/mm] = f(0,1) + [mm] f_{h_1}*x [/mm] + [mm] \bruch{f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1}}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] R_3
[/mm]
und falls ich mich doch irgendwo vertan haben sollte...ist ja jetzt nicht so schlimm, kann ich ja ggf. morgen oder so noch ausbessern aber so grob sollte es auf jeden Fall stimmen jetz!
lG
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Hallo a_la_fin,
> So, um mir eine arge Schreibarbeit zu ersparen: ich
> verwende folgende Notation:
>
> [mm]f_{h_1}[/mm] := [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_1}[/mm] (analog
> [mm]f_{h_2})[/mm]
>
> [mm]f_{h_1}_{h_2}[/mm] := [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_2}*f_{h_1}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_2}*\bruch{\partial f}{\partial h_1}[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]f_{h_1}_{h_2} := \bruch{\partial }{\partial h_2} \left( \ f_{h_1} \ \right)=\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}[/mm]
Und nach Satz von Schwarz gilt sogar
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}=\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_1 \ \partial h_{2}}[/mm]
falls f stetig differenzierbar und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}[/mm] stetig ist.
> (analog [mm]f_{h_1}_{h_1}[/mm] usw.)
>
> h'_1:= [mm]\bruch{d}{dx}*h_1(x)[/mm] (analog h'_2)
>
> Dann ist die Lösung folgende:
> g'(x) = [mm]f_{h_1}*h'_1+f_{h_2}*h'_2[/mm]
>
> g''(x) = [mm]f_{h_1}*h''_1[/mm] + [mm]f_{h_1}_{h_1}*h'_1[/mm] +
> [mm]f_{h_1}_{h_2}*h'_2[/mm] + [mm]f_{h_2}*h''_2[/mm] + [mm]f_{h_2}_{h_1}*h'_1[/mm] +
> [mm]f_{h_2}_{h_2}*h'_2[/mm]
>
Das muss hier so lauten:
[mm]g''(x) = f_{h_1}*h''_1 + f_{h_1}_{h_1}*h'_1^{\red{2}} +
f_{h_1}_{h_2}*h'_{2}*\red{h'_{1}} + f_{h_2}*h''_2 + f_{h_2}_{h_1}*h'_{1}*\red{h'_{2}} + f_{h_2}_{h_2}*h'_2^{\red{2}}[/mm]
> h'_1(0) = 1, h''_1(0) = 0, h'_2(0) = 0, h''_2(0) =
> -1
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g'(0) = [mm]f_{h_1},[/mm] g''(0) =
> [mm]f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow T_{0,2}[/mm] = f(0,1) + [mm]f_{h_1}*x[/mm] +
> [mm]\bruch{f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1}}{2!}*x^2[/mm] + [mm]R_3[/mm]
>
> und falls ich mich doch irgendwo vertan haben sollte...ist
> ja jetzt nicht so schlimm, kann ich ja ggf. morgen oder so
> noch ausbessern aber so grob sollte es auf jeden Fall
> stimmen jetz!
>
> lG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Fr 29.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Ok! Gut zu wissen! Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mo 01.02.2010 | | Autor: | a_la_fin |
> Hallo a_la_fin,
>
> > So, um mir eine arge Schreibarbeit zu ersparen: ich
> > verwende folgende Notation:
> >
> > [mm]f_{h_1}[/mm] := [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_1}[/mm] (analog
> > [mm]f_{h_2})[/mm]
> >
> > [mm]f_{h_1}_{h_2}[/mm] := [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_2}*f_{h_1}[/mm] =
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial h_2}*\bruch{\partial f}{\partial h_1}[/mm]
>
>
> Das muss doch so lauten:
>
> [mm]f_{h_1}_{h_2} := \bruch{\partial }{\partial h_2} \left( \ f_{h_1} \ \right)=\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}[/mm]
>
> Und nach Satz von Schwarz gilt sogar
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}=\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_1 \ \partial h_{2}}[/mm]
>
> falls f stetig differenzierbar und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial h_2 \ \partial h_{1}}[/mm]
> stetig ist.
>
>
> > (analog [mm]f_{h_1}_{h_1}[/mm] usw.)
> >
> > h'_1:= [mm]\bruch{d}{dx}*h_1(x)[/mm] (analog h'_2)
> >
> > Dann ist die Lösung folgende:
> > g'(x) = [mm]f_{h_1}*h'_1+f_{h_2}*h'_2[/mm]
> >
> > g''(x) = [mm]f_{h_1}*h''_1[/mm] + [mm]f_{h_1}_{h_1}*h'_1[/mm] +
> > [mm]f_{h_1}_{h_2}*h'_2[/mm] + [mm]f_{h_2}*h''_2[/mm] + [mm]f_{h_2}_{h_1}*h'_1[/mm] +
> > [mm]f_{h_2}_{h_2}*h'_2[/mm]
> >
>
>
> Das muss hier so lauten:
>
> [mm]g''(x) = f_{h_1}*h''_1 + f_{h_1}_{h_1}*h'_1^{\red{2}} +
f_{h_1}_{h_2}*h'_{2}*\red{h'_{1}} + f_{h_2}*h''_2 + f_{h_2}_{h_1}*h'_{1}*\red{h'_{2}} + f_{h_2}_{h_2}*h'_2^{\red{2}}[/mm]
>
Ja, das ist mir dann auch noch aufgefallen. und das war sogar ned mal ein "nur-vertan-"-Fehler, sondern ein grundlegender "Verständnisfehler". Gut, dass ich auch dieses Allerletzte Verständnisproblem noch rechtzeitig beseitigt hatte, denn es kam tatsächlich GENAU die GLEICHE Aufgabe wieder dran - nur mir sinh und cosh ^^. Hoffen wir mal dass ich bei der alle Punkte abgeräumt habe, bestanden habe ich zumindest mal . Morgen gibts dann die Einsicht - mit Noten *gespannt bin*.
>
> > h'_1(0) = 1, h''_1(0) = 0, h'_2(0) = 0, h''_2(0) =
> > -1
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] g'(0) = [mm]f_{h_1},[/mm] g''(0) =
> > [mm]f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow T_{0,2}[/mm] = f(0,1) + [mm]f_{h_1}*x[/mm] +
> > [mm]\bruch{f_{h_1}_{h_1}-f_{h_2}+ f_{h_2}_{h_1}}{2!}*x^2[/mm] + [mm]R_3[/mm]
> >
> > und falls ich mich doch irgendwo vertan haben sollte...ist
> > ja jetzt nicht so schlimm, kann ich ja ggf. morgen oder so
> > noch ausbessern aber so grob sollte es auf jeden Fall
> > stimmen jetz!
> >
> > lG
>
>
> Gruss
> MathePower
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