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| Aufgabe | | Bitte beweisen Sie die zweite Funktionalgleichung (exp(x + y) = exp x * exp y), indem Sie zu vorgegebenem y [mm] \in \IR [/mm] die Funktion h: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] h(x) := exp(x + y)exp(-x) betrachten und zeigen, dass sie eine konstante Funktion ist. |
Hallo,
1) erst einmal eine ganz bloede Frage: Wieso folgt aus der Konstanz von h, dass (exp(x + y) = exp x * exp y)?
2) Ausserdem hab ich wieder den Loesungsweg, der zur der Konstanz von h fuehrt, und auch hierzu hab ich wieder mal eine Frage (wie koennt es anders sein):
"Wir beweisen die Aussage
exp(x + y) = exp x * exp y fuer alle x, y [mm] \in \IR.
[/mm]
Dazu differenzieren wir bei fest vorgegebenem y [mm] \in \IR [/mm] die Funktion h: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch
h(x) := exp(x + y)exp(-x) (x [mm] \in \IR)
[/mm]
und weisen nach, dass h eine konstante Funktion ist. Wegen h(0) = exp y folgt dann
exp(x + y)exp(-x) = exp y fuer jedes x [mm] \in \IR..."
[/mm]
Moment mal! Weil exp(x + y)exp(-x) = exp y fuer x = 0 ist, kann ich daraus folgern, dass exp(x + y)exp(-x) = exp y fuer JEDES x [mm] \in \IR? [/mm] Wie geht das denn? Bloss weil [mm] x^2 [/mm] = 2x fuer x = 2, kann ich doch deswegen nicht folgern [mm] x^2 [/mm] = 2x fuer jedes x [mm] \in \IR. [/mm] Versteht ihr was ich meine?
"...und somit nach
exp x * exp(-x) = 1 fuer jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
die Behauptung."
Welche Behauptung?
"Nach
exp' = exp
erhalten wir
h'(x) = exp'(x + y)exp(-x) - exp(x + y)exp'(-x) = exp(x + y)exp(-x) - exp(x + y)exp(-x) = 0 fuer jedes x [mm] \in \IR; [/mm] also ist h eine konstante Funktion."
Kann mir das einer bitte erklaeren?
Danke,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Di 01.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Kann mir hier wirklich keiner weiterhelfen? *grosseKullerAugenMach*
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mi 02.05.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo,
das dir das komisch vorkommt ist ganz normal. Es ist in gewisser Hinsicht
sogar ein gutes Zeichen, weil es zeigt das du den Beweis wirklich verstehen
willst.
Das Problem tritt bei Beweisen auf wo ein Kombination aus "für alle" und "es exstiert" bewiesen werden soll.
Wir wollen beweisen:
Für alle y existiert $h : [mm] \IR \to \IR [/mm] $ sodaß für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
$ h(x) = exp(x + y)exp(-x) $
und h(x) ist konstant.
Stellen wir uns mal vor wir beweisen es für y=17 dann haben wir ein h
mit: h(x) = exp(x + 17)exp(-x) und h ist konstant.
Wenn wir nun 0 für x einsetzen dann erhalten wir:
h(0) = exp(17)
weil aber h konstant ist gilt für all x : h(x) = h(0) = exp(17)
Das setzen oben noch einmal ein und erhalten:
exp(17) = exp(x + 17)exp(-x)
daraus folgt
exp(17) * exp(x) = exp(x + 17)
Hier muß allerdings noch bewiesen werden:
Für x gilt exp(x) exp(-x) = 1
Wenn man in dem Beweis überall die 17 durch eine andere Zahl ersetzt
und dann bleibt der Beweis richtig. Ich kann also auch anstelle
der 17 ein y schreiben.
Nun müssen wir aber noch Für x gilt exp(x) exp(-x) = 1
beweisen. Das muß man eigentlich vorher machen.
Wir dürfen also nicht verwenden was wir eben bewiesen haben.
Wir fangen also nochenmal ganz von vorn an und führen den
Beweis für y=0 durch:
Wir erhalten für alle x gilt: h(x) = exp(x + 0)exp(-x)
also h(0) = exp(0 + 0)exp(-0) = exp(0)exp(0)
exp(0) muß mit der Definition von exp ausgerechnet werden.
Man erhält dort exp(0) = 1
also ist h(0) = 1und weil h konstant ist gilt
für alle x : h(x) = h(0) = 1
wir setzesn dies erneut ein und erhalten:
Für alle x gilt: 1 = exp(x + 0)exp(-x) also
Für alle x gilt: 1 = exp(x)exp(-x)
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Eine zweite Möglichkeit sich den Sachverhalt klar zu machen ist nicht
h als Funktion von [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] zu betrachten sondern als Funktion
H: [mm] \IR [/mm] -> {h | h ist h : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] | }
Man schreib das machmal kurz:
H: [mm] \IR [/mm] -> [mm] (\IR [/mm] -> [mm] \IR)
[/mm]
In dem Beweis ersetzt man dann überall h durch H(y) damit sollte
dann klar sein das das h in abhängigkeit von y gewählt wird.
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Ich habe weggelassen zu beweisen, daß wirklich h konstant ist. Ich hab
angenommen das dies nicht das Problem war. Hier muß man natürlich
auf die Definition von exp zurückgreifen und diese dann ableiten.
komduck
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mi 02.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Danke, ich habs jetzt verstanden. Das Problem lag darin, dass die Formulierung etwas komisch war. In der Aufgabenstellung stand, man solle zeigen, dass h konstant ist und daraus folgern, dass besagte Gleichung gilt. In der Musterloesung wurde dann zuerst die Gleichung aus h hergeleitet (unter der stillschweigenden Annahme, dass h konstant ist) und erst dann wurde h als konstant nachgewiesen. In umgedrehter Reihenfolge waer das glaube ich um einiges verstaendlicher gewesen.
Danke nochmal,
Martin
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