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| Aufgabe | Fourier-Reihen zu folgenden [mm] 2\pi [/mm] - periodischen Funktionen berechnen:
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
[mm] f_2(x) [/mm] = |x| |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe probehalber die Fourier-Reihen zu obigen beiden Funktionen berechnet und bitte um Kontrolle.
[mm] $f_1 [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{6}\pi^2 [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{n} ((\bruch{\pi}{n}*sin (n*\pi)+\bruch{2*sin (n\pi)}{\pi*n^3}) [/mm] cos (nx))$
$= [mm] \bruch{1}{6}\pi^2 [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{n} ((-1)^{n+1}*(\bruch{\pi}{n}+\bruch{2}{\pi*n^3})cos(nx))$
[/mm]
[mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{n} (((-1)^{n+1}*\bruch{2}{n} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi*n^2})cos(nx))$
[/mm]
Gibt es im Internet irgendeine Möglichkeit, diese Lösungen auf Korrektheit zu überprüfen, ohne dabei Euch in Anspruch nehmen zu müssen? 
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
ich ueberpruefe meine Ergebnisse immer, indem ich die ersten paar Summanden plotte, wolfram alpha kann das mit dem Summen schnell.
gruss leduart
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Das heißt, Du gibst bei Wolfram Alpha einen Ausdruck für [mm] a_0 [/mm] + die einzelnen Summanden für n=1, 2, 3 ein?
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Ja, so ähnlich mache ich das auch.
Ich weiß nicht ob man in WolframAlpha direkt eine Summe eingeben kann, das würde einem viel Getippe ersparen.
Achja ohne dein Ergebnis genauer kontrolliert zu haben: Bei den Summen muss die obere "Grenze" [mm] \infty [/mm] sein.
Auf welchem Intervall sollst du in eine Fourierreihe entwickeln?
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Die Plots sehen sehr falsch aus:
1): ![[]](/images/popup.gif) f1(x)
2): f2(x)
Entweder habe ich einen Eingabefehler gemacht, oder die Reihen sind tatsächlich beide falsch. Das muss ich mir dann morgen wohl nochmal genauer anschauen, indem ich die einzelnen Rechenschritte dort nachrechne.
Die Funktionen waren übrigens über [mm] $[-\pi, \pi [/mm] )$ definiert. Das hatte ich vergessen mit anzugeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die [mm] 2\pi [/mm] periodich sein sollen, alo von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] sollten nur cos Terme vorkommen, da sie ja dann gerade sind.
was hast du denn gerechnet?
in wolfran kan man sum over k from ..to .. eingeben.
bis 7 oder 10rechnet er meist umsonst
Gruss leduart
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> Hallo
> da die [mm]2\pi[/mm] periodich sein sollen, alo von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm]
> sollten nur cos Terme vorkommen, da sie ja dann gerade
> sind.
> was hast du denn gerechnet?
Okay, ich denke, ich werde mal meine Rechenschritte im Einzelnen posten. Vielleicht habe ich ja doch irgendwo etwas nicht verstanden.
Hier also mal meine Rechnung für f(x) = [mm] 1/2x^2
[/mm]
Die Funktion ist gerade, also gilt für die Koeffizienten:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{1/2x^2 cos (nx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{sin (\pi*n)*(n^2*\pi^2-2)}{\pi*n^3}
[/mm]
Hier kommen also offensichtlich durch die Integration sin-Terme drin vor, ist das unmöglich? Wenn ja, wieso? Durch die Integration von cos-Termen entstehen doch sin-Terme, wieso können dann keine im Fourier-Koeffizienten vorkommen?
[mm] a_0 [/mm] = [mm] 1/3*\pi^2
[/mm]
Damit folgt dann für die Fourier-Reihe:
$f(x) = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ((\bruch{sin (\pi*n)*(n^2*\pi^2+2)}{\pi*n^3}) [/mm] * cos (nx))$
Dabei kann ich den [mm] sin(n\pi) [/mm] - Term doch ersetzen durch [mm] (-1)^{n+1}, [/mm] oder nicht? Also erhalte ich als Lösung:
$f(x) = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (((-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n^2*\pi^2-2}{\pi*n^3})*cos [/mm] (nx))$
Diese Reihe divergiert aber laut Wolfram Alpha, also ist etwas falsch: Wolfram Alpha
> in wolfran kan man sum over k from ..to .. eingeben.
> bis 7 oder 10rechnet er meist umsonst
Ein klasse Tipp, das ist wirklich hilfreich, vielen Dank! Wenn jetzt meine Fourier-Reihe noch irgendwie die Funktion abbilden würde ... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > da die [mm]2\pi[/mm] periodich sein sollen, alo von [mm]-\pi[/mm] bis
> [mm]+\pi[/mm]
> > sollten nur cos Terme vorkommen, da sie ja dann gerade
> > sind.
> > was hast du denn gerechnet?
>
> Okay, ich denke, ich werde mal meine Rechenschritte im
> Einzelnen posten. Vielleicht habe ich ja doch irgendwo
> etwas nicht verstanden.
>
> Hier also mal meine Rechnung für f(x) = [mm]1/2x^2[/mm]
> Die Funktion ist gerade, also gilt für die
> Koeffizienten:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{1/2x^2 cos (nx) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{sin (\pi*n)*(n^2*\pi^2-2)}{\pi*n^3}[/mm]
>
> Hier kommen also offensichtlich durch die Integration
> sin-Terme drin vor, ist das unmöglich? Wenn ja, wieso?
> Durch die Integration von cos-Termen entstehen doch
> sin-Terme, wieso können dann keine im
> Fourier-Koeffizienten vorkommen?
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]1/3*\pi^2[/mm]
>
> Damit folgt dann für die Fourier-Reihe:
>
> [mm]f(x) = \bruch{\pi^2}{6} + \summe_{n=1}^{\infty} ((\bruch{sin (\pi*n)*(n^2*\pi^2+2)}{\pi*n^3}) * cos (nx))[/mm]
>
> Dabei kann ich den [mm]sin(n\pi)[/mm] - Term doch ersetzen durch
> [mm](-1)^{n+1},[/mm] oder nicht?
Wie unbelehrbar bist Du denn ?
Ich hab Dir doch schon gesagt, dass [mm]sin(n\pi)[/mm] =0 ist.
FRED
Also erhalte ich als Lösung:
>
> [mm]f(x) = \bruch{\pi^2}{6} + \summe_{n=1}^{\infty} (((-1)^{n+1} * \bruch{n^2*\pi^2-2}{\pi*n^3})*cos (nx))[/mm]
>
> Diese Reihe divergiert aber laut Wolfram Alpha, also ist
> etwas falsch:
> Wolfram Alpha
>
> > in wolfran kan man sum over k from ..to .. eingeben.
> > bis 7 oder 10rechnet er meist umsonst
>
> Ein klasse Tipp, das ist wirklich hilfreich, vielen Dank!
> Wenn jetzt meine Fourier-Reihe noch irgendwie die Funktion
> abbilden würde ... :-(
>
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Hallo Fred,
> Wie unbelehrbar bist Du denn ?
>
> Ich hab Dir doch schon gesagt, dass [mm]sin(n\pi)[/mm] =0 ist.
Du hast vollkommen Recht. Da habe ich mich absolut verzettelt. Erst durch Deine Graphen wurde mir das klar (die habe ich aber erst gesehen, als ich den obigen Post schon abgeschickt hatte).
Ich glaube, damit auch die Fehler gefunden zu haben. Ich habe nun folgende neue Lösungen für die Fourier-Reihen heraus:
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] 1/2x^2 [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n * \pi}{n^2}*cos(nx)
[/mm]
Der Graph dazu für n=1 ... 10 bei Wolfram Alpha: Klick! Der Graph scheint mir noch relativ ungenau zu sein, bei x=0 ist der Funktionswert -1 und bei [mm] x=\pi [/mm] scheint er mir zu groß zu sein. Könnten das noch Abweichungen sein, da n nur bis 10 gelaufen ist, oder deutet das noch auf einen Fehler hin?
[mm] f_2(x) [/mm] = |x| = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2*(-1)^n-2}{\pi*n^2}*cos(nx)
[/mm]
Link zum Graph: Klick! Und das scheint wirklich sehr genau zu passen, das sieht absolut wie |x| aus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo zettelbox,
die Fourierreihendarstellung für den Betrag von x ist okay, jeder zweite Summand ist Null.
Bei der Entwicklung der quadratischen Funktion ist noch irgendetwas bei den Vorfaktoren schief gelaufen. Der Absolutterm in der Reihe sollte [mm]\bruch{\pi^2}{6} [/mm] sein und der gemeinsame Vorfaktor vor den Cosinustermen eine -2, wenn ich mich da nicht verhauen habe.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast dein Integral falsch berechnet, gib es mal in wolfram ein, oder differeniere dein Ergebnis mit Produktregel, ich fuerchte du hast das [mm] x^2 [/mm] bein integrieren einfach stehen lassen und nur cos integriert?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Fourier-Reihen zu folgenden [mm]2\pi[/mm] - periodischen Funktionen
> berechnen:
>
> [mm]f_1(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]f_2(x)[/mm] = |x|
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich habe probehalber die Fourier-Reihen zu obigen beiden
> Funktionen berechnet und bitte um Kontrolle.
>
> [mm]f_1 (x) = \bruch{1}{6}\pi^2 + \summe_{n=1}^{n} ((\bruch{\pi}{n}*sin (n*\pi)+\bruch{2*sin (n\pi)}{\pi*n^3}) cos (nx))[/mm]
Das kann nicht stimmen, denn $sin(n* [mm] \pi)=0$ [/mm] für jedes n.
FRED
>
> [mm]= \bruch{1}{6}\pi^2 + \summe_{n=1}^{n} ((-1)^{n+1}*(\bruch{\pi}{n}+\bruch{2}{\pi*n^3})cos(nx))[/mm]
>
> [mm]f_2(x) = \bruch{\pi}{2} + \summe_{n=1}^{n} (((-1)^{n+1}*\bruch{2}{n} - \bruch{2}{\pi*n^2})cos(nx))[/mm]
>
> Gibt es im Internet irgendeine Möglichkeit, diese
> Lösungen auf Korrektheit zu überprüfen, ohne dabei Euch
> in Anspruch nehmen zu müssen?
> Vielen Dank im Voraus!
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> Das kann nicht stimmen, denn [mm]sin(n* \pi)=0[/mm] für jedes n.
>
> FRED
Also ich würde behaupten, [mm] sin(n\pi)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
oder liege ich da falsch? Bei [mm] cos(n\pi) [/mm] = 0 gebe ich Dir natürlich völlig Recht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 07.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Das kann nicht stimmen, denn [mm]sin(n* \pi)=0[/mm] für jedes n.
> >
> > FRED
>
> Also ich würde behaupten, [mm]sin(n\pi)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> oder liege ich da falsch?
> Bei [mm]cos(n\pi)[/mm] = 0 gebe ich Dir
> natürlich völlig Recht.
Schau mal da rein:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Sine_cosine_one_period.svg&filetimestamp=20100716201555
FRED
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