2 Reihen zusammenfassen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaenzign |
Hallo Leute
Wir behandeln gerade Potenzreihen in der komplexen Analysis.
Nun meinte heute der Übungsasistent, dass wenn man einen Term bestehend aus 2 Reihen hat, man diese nicht einfach so zu einer Reihe (z.B mittels Indexverschiebung einer Reihe) zusammenfassen darf.
Stimmt das so? Falls ja, warum darf man das nicht, bzw. unter welchen Voraussetzungen darf man es?
Noch ein Beispiel dazu, an dem ich gerade rechne:
[mm] $\summe_{j=1}^{\infty}j*z^{2j-1} [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(j+1)^{2}*z^{2j}$
[/mm]
Im reellen hätte ich da jetzt einfach links eine Indexverschiebung nach j=0 gemacht, wodurch man anschliessend auf beiden Seiten dieselbe Potenz über z hat, und das ganze so schön zu einer Reihe zusammenfassen kann.
Darf ich das hier tun?
PS: bei der Aufgabe geht es darum, den Konvergenzradius der obigen Reihe(n) zu bestimmen
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Hallo kaenzign,
> Hallo Leute
> Wir behandeln gerade Potenzreihen in der komplexen
> Analysis.
> Nun meinte heute der Übungsasistent, dass wenn man einen
> Term bestehend aus 2 Reihen hat, man diese nicht einfach so
> zu einer Reihe (z.B mittels Indexverschiebung einer Reihe)
> zusammenfassen darf.
> Stimmt das so? Falls ja, warum darf man das nicht, bzw.
> unter welchen Voraussetzungen darf man es?
> Noch ein Beispiel dazu, an dem ich gerade rechne:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}j*z^{2j-1} + \summe_{j=0}^{\infty}(j+1)^{2}*z^{2j}[/mm]
>
> Im reellen hätte ich da jetzt einfach links eine
> Indexverschiebung nach j=0 gemacht, wodurch man
> anschliessend auf beiden Seiten dieselbe Potenz über z
> hat, und das ganze so schön zu einer Reihe zusammenfassen
> kann.
Dieselbe Potenz über z wirst Du nicht erreichen.
Eine Indexverschiebung kannst Du aber trotzdem durchführen.
> Darf ich das hier tun?
>
> PS: bei der Aufgabe geht es darum, den Konvergenzradius der
> obigen Reihe(n) zu bestimmen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaenzign |
Oh da habe ich wohl einen Flüchtigkeitsfehler mit der Potenz gemacht...
Heisst das, das sich mein Assistent da geirrt hat?
Er sagte ausserdem auch, dass das Zusammenfassen von Reihen auch im reellen nicht immer möglich ist und hat als Beispiel die Auftrennung, der alternierenden harmonischen Reihe gebracht, in eine Reihe mit geradem index. Also:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*x_{i} \not= \summe_{j=1}^{n}(-1)*x_{j} [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n}(+1)*x_{k}
[/mm]
mit j ungerade, k gerade
In meinen Augen sehen die beiden Seiten aber absolut identisch aus. Übersehe ich da was?
Und nun noch zu der Aufgabe, die ich im Anfangspost erwähnt habe:
Ich habe die beiden Reihen jetzt wie folgt zusammengefasst:
$ [mm] \summe_{j=1}^{\infty}j\cdot{}z^{2j-1} [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(j+1)^{2}\cdot{}z^{2j} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{\infty}[(j+1)^{2}*z^{2j}+(j+1)*z^{2j+1}]$
[/mm]
Wie berechne ich jetzt da den Konvergenzradius?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh da habe ich wohl einen Flüchtigkeitsfehler mit der
> Potenz gemacht...
>
> Heisst das, das sich mein Assistent da geirrt hat?
cool - trotz fertigem Studium habe und hatte ich bisher noch nie einen
Assistenten! 
> Er sagte ausserdem auch, dass das Zusammenfassen von
> Reihen auch im reellen nicht immer möglich ist und hat als
> Beispiel die Auftrennung, der alternierenden harmonischen
> Reihe gebracht, in eine Reihe mit geradem index. Also:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*x_{i} \not= \summe_{j=1}^{n}(-1)*x_{j}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=2}^{n}(+1)*x_{k}[/mm]
> mit j ungerade, k gerade
Das [mm] "$j\,$ [/mm] gerade" schreibt man an die entsprechende Stelle (1. Reihe rechts
des Gleichheitszeichens, unter das Gleichheitszeichen); analoges gilt für
[mm] "$k\,$ [/mm] ungerade"!
Sowas geht mit [mm] $\sum_{\substack{j=1\\j \text{ ungerade}}}$ [/mm] (Code: $\sum_{\substack{j=1\\j \text{ ungerade}}}$!)
Hier geht's aber sicher um REIHEN, also das [mm] $\red{n}\,$ [/mm] bei Dir oben (bei [mm] $\sum_{...=1}^\red{n}$ [/mm] ) ist
jeweils durch [mm] $\infty$ [/mm] zu ersetzen!
> In meinen Augen sehen die beiden Seiten aber absolut
> identisch aus. Übersehe ich da was?
Ja: Für [mm] $x_n:=1/n$ [/mm] kann [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n \red{\;\,=\;\,} (-1)*\;\sum_{\substack{j=1\\j \text{ ungerade}}}^\infty x_j\;+\;1*\sum_{\substack{k=2\\k \text{ gerade}}}^\infty x_k$
[/mm]
NICHT gelten, denn beide Reihe rechterhand sind in [mm] $\IR$ [/mm] divergent.
(Damit macht es keinen Sinn, eine Gleichheit für die Summe ihrer Grenzwerte
zu behaupten: Die Reihen rechterhand haben keinen Grenzwert in [mm] $\IR$!
[/mm]
Die Reihe linkerhand ist übrigens nach Leibniz konvergent, und in der
Gleichung macht somit auf der linken Seite das Symbol [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$
[/mm]
als Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$ [/mm] dann Sinn!)
Oder was ist Deiner Meinung nach etwa der Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{\substack{k=2\\k \text{ gerade}}}^\infty x_k=\frac{1}{2}*\sum_{\ell=1}^\infty \frac{1}{\ell}$?
[/mm]
(Man kann einen hinschreiben: Aber gehört der auch zu [mm] $\IR$?)
[/mm]
Was ist übrigens der Grenzwert von [mm] $\sum_{\substack{j=1\\j \text{ ungerade}}}^\infty x_j=\tfrac{1}{1}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+...$
[/mm]
(Das kann man sich auch so überlegen:
Weil [mm] $\tfrac{1}{1} \ge \tfrac{1}{2}=x_2,\;$ $\tfrac{1}{3} \ge \tfrac{1}{4}=x_4,\;$ $\tfrac{1}{5} \ge \tfrac{1}{6}=x_6,\;$... [/mm] folgt...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht nochmal ergänzend:
> Hallo kaenzign,
>
> > Hallo Leute
> > Wir behandeln gerade Potenzreihen in der komplexen
> > Analysis.
> > Nun meinte heute der Übungsasistent, dass wenn man
> einen
> > Term bestehend aus 2 Reihen hat, man diese nicht einfach so
> > zu einer Reihe (z.B mittels Indexverschiebung einer Reihe)
> > zusammenfassen darf.
> > Stimmt das so? Falls ja, warum darf man das nicht, bzw.
> > unter welchen Voraussetzungen darf man es?
> > Noch ein Beispiel dazu, an dem ich gerade rechne:
> >
> > [mm]\summe_{j=1}^{\infty}j*z^{2j-1} + \summe_{j=0}^{\infty}(j+1)^{2}*z^{2j}[/mm]
>
> >
> > Im reellen hätte ich da jetzt einfach links eine
> > Indexverschiebung nach j=0 gemacht, wodurch man
> > anschliessend auf beiden Seiten dieselbe Potenz über z
> > hat, und das ganze so schön zu einer Reihe zusammenfassen
> > kann.
>
>
> Dieselbe Potenz über z wirst Du nicht erreichen.
>
> Eine Indexverschiebung kannst Du aber trotzdem
> durchführen.
die Indexverschiebung hat ja auch nichts mit "Rechenregeln für konvergente
Folgen/Reihen" zu tun. Bei einer, nennen wir es mal allgemeiner
"Indextransformation", sollte man i.a. auf "Summandenreihenfolge"
achten, oder sich klarmachen, ob man einfach die Reihenfolge ändern
darf. (Man darf natürlich auch keine Summanden vergessen etc. pp. ...)
Da gibt's Aussagen über "summierbare Familien" etc. pp., aber da schweife
ich hier dann vielleicht doch einfach ein wenig zuviel von der eigentlichen
Frage ab.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 10.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kaenzign,
ganz unabhängig von der konkreten Aufgabe:
Seien [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] Reihen reeller oder komplexer Zahlen.
Falls [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] gegen eine Zahl $a$ konvergiert und [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] ebenfalls gegen eine Zahl $b$ konvergiert, so konvergiert auch [mm] $\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)$, [/mm] nämlich gegen $a+b$.
Falls wir jedoch nur wissen, dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)$ [/mm] gegen eine Zahl $c$ konvergiert, so müssen noch lange nicht [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] konvergieren.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute
> Wir behandeln gerade Potenzreihen in der komplexen
> Analysis.
> Nun meinte heute der Übungsasistent, dass wenn man einen
> Term bestehend aus 2 Reihen hat, man diese nicht einfach so
> zu einer Reihe (z.B mittels Indexverschiebung einer Reihe)
> zusammenfassen darf.
> Stimmt das so? Falls ja, warum darf man das nicht, bzw.
> unter welchen Voraussetzungen darf man es?
naja, es gilt halt das, was Tobi hier sagte. Ich ergänze aber mal ein paar
Sachen, die vielleicht auch als Wiederholung hier gut geeignet sind, um das
Ganze nochmal selbst zu verstehen:
1. Eine Reihe [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] ist per Defintionem erstmal nichts
anderes als eine Notation für die Folge der zugehörigen Teilsummen [mm] $(s_n)_{n=n_0}^\infty$
[/mm]
mit [mm] $s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k\,.$
[/mm]
2. Falls [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert, so bekommt das Symbol
zudem auch die Bedeutung des Grenzwertes zugewiesen: [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n=\lim_{n_0 \le N \to \infty}\sum_{n=n_0}^N a_n\,.$
[/mm]
(Direkt am Anfang von ![[]](/images/popup.gif) Kapitel 6, hier (klick!).)
3. Ob mit [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] nun die oben angesprochene
Teilsummenfolge gemeint ist , oder - was auch nur dann geht, wenn diese
konvergiert - das Symbol den Grenzwert dieser Teilsummenfolge meint,
sollte immer aus dem Zusammenhang heraus klar und eindeutig erkennbar
sein!
Inwiedern hilft das? Naja, man kann somit die Ergebnisse für das Rechnen
mit konvergenten Folgen einfach übertragen:
Bekannt ist etwa:
Sind [mm] ${(w_n)}_n$ [/mm] und [mm] ${(z_n)}_n$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] konvergente Folgen mit [mm] $w_n \to [/mm] w [mm] \in \IC\,,$
[/mm]
[mm] $z_n \to [/mm] z [mm] \in \IC\,,$ [/mm] so gilt $w [mm] \cdot z=\lim_{n \to \infty} (w_n*z_n)\,.$
[/mm]
(Satz 5.5 (klick!))
Hier bspw.:
Ist [mm] ${\sum_{n=0}^\infty a_n}$ [/mm] bzw. [mm] ${\sum_{n=0}^\infty b_n}$ [/mm] der Grenzwert der Reihe [mm] $\red{\sum_{n=0}^\infty a_n}$ [/mm] bzw. [mm] $\red{\sum_{n=0}^\infty b_n}$ [/mm] (Du siehst: im rotmarkierten
Teil meine ich die Teilsummenfolge(n) - vorher meinte ich DEN GRENZWERT
dieser, denn ich setze voraus, dass die beiden Teilsummenfolgen
KONVERGIEREN!), so konvergiert auch die Reihe [mm] $\red{\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)}$ [/mm] und es gilt folgende
Gleichheit der Grenzwerte:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)=(\sum_{n=0}^\infty a_n)+\sum_{n=0}^\infty b_n\,.$$
[/mm]
Die letzte Gleicheit bedeutet ausgeschrieben:
[mm] $$\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N (a_n+b_n)=(\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N a_n)+\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N b_n\,.$$
[/mm]
Und Du erkennst auch: Genauso, wie die Summe zweier divergenter Folgen
konvergent sein kann [mm] ($a_n:=(-1)^n=:(-1)*b_n\,,$) [/mm] kann auch die Summe
zweier divergenter Reihen konvergent sein:
Die Reihe (ich schreibe nur noch [mm] $\sum:=\sum_{n=0}^\infty$) [/mm]
[mm] $\sum 0=\sum ((-1)^n+(-1)^{n+1})$
[/mm]
konvergiert gegen [mm] $0\,,$ [/mm] denn die Teilsummenfolge hier ist ja einfach die
Folge, die konstant 0 ist.
Die Reihe [mm] $\sum (-1)^n$ [/mm] ist aber divergent (die zugehörige Teilsummenfolge
als "Zeilenvektor mit [mm] '$\IN$' [/mm] Einträgen" hingeschrieben sieht ja so aus:
[mm] $$(\underbrace{1}_{=\sum_{n=0}^0 (-1)^n},\,\underbrace{0}_{=\sum_{n=0}^1 (-1)^n},\,\underbrace{1}_{=\sum_{n=0}^2 (-1)^n},\,\underbrace{0}_{=\sum_{n=0}^3 (-1)^n},\,\underbrace{1}_{=\sum_{n=0}^4 (-1)^n},\,\underbrace{0}_{=\sum_{n=0}^0 (-1)^n},\,1,...)$$
[/mm]
man erkennt, dass sie zwei verschiedene Häufungspunkte hat) - analog
erkennt man auch, dass [mm] $\sum (-1)^{n+1}=(-1)*\sum (-1)^n$ [/mm] divergieren muss.
So, und wenn man jetzt etwa weiß: Eine Folge [mm] ${(x_n)}_{n}={(r_n,\,s_n)}_{n}$ [/mm] des [mm] $\IR^2$
[/mm]
konvergiert genau dann gegen $(r,s) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] wenn die reelle Folge [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm]
in [mm] $\IR$ [/mm] gegen $r [mm] \in \IR$ [/mm] und wenn die Folge [mm] ${(s_n)}_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] gegen $s [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert.
(Folgt aus Bemerkung 8.17.)
Nun frage ich Dich: Wie folgt daraus dann, dass eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IC$
[/mm]
genau dann gegen $z [mm] \in \IC$ [/mm] konvergiert, wenn [mm] $\text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$ [/mm]
konvergieren?
Tipp: Identifiziere [mm] $\IC$ [/mm] "passend" mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] (passend=in
naheliegender Weise).
So, und nun frage ich Dich zudem:
Wieso gilt nun, dass eine Reihe in [mm] $\IC$ [/mm] genau dann in [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert,
wenn sowohl "die zugehörige Realteilreihe" als auch "die zugehörige
Imaginärteilreihe" in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren?
Du kannst so anfangen: Eine komplexe Reihe [mm] $\sum z_n$ [/mm] ist erstmal nichts
anderes als die Folge ihrer Teilsummen [mm] ${(s_n)}_n$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n z_k\,.$$
[/mm]
[mm] ${(s_n)}_n$ [/mm] ist also eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] (also eine komplexwertige Folge)...
Gruß,
Marcel
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