2 Teilfolgen konv => Folge kon < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 25.05.2014 | | Autor: | Killuah |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Von der Zahlenfolge [mm] (x_{n})_{n=0}^ {\infty} [/mm] sei bekannt, dass jede der beiden Teilfolgen [mm] (x_{2k})_{k=0}^ {\infty} [/mm] und [mm] (x_{2k+1})_{k=0}^ {\infty} [/mm] gegen a konvergiert.
Beweisen Sie, dass die gesamte Folge [mm] (x_{n})_{n=0}^ {\infty} [/mm] gegen a konvergiert. |
Ich habe leider kaum eine richtige Idee, wie ich das Beweisen kann. Mir ist klar, dass diese Aussage richtig ist, da die beiden Teilfolgen zusammen die kokmplette ganze Folge [mm] x_{n} [/mm] "erzeugen".
Meine ersten beiden Ideen waren:
[mm] |(x_{2k})_{k=0}^ {\infty}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und
[mm] |(x_{2k+1})_{k=0}^ {\infty}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
gelten für ein passendes [mm] n_{0}. [/mm] Dieses muss [mm] max(n_{1}, n_{2}) [/mm] sein, wobei eben [mm] n_{1} [/mm] das [mm] n_{0} [/mm] ist für das das Epsilon-Kriterium für [mm] (x_{2k})_{k=0}^ {\infty} [/mm] gilt und [mm] n_{2} [/mm] das [mm] n_{0} [/mm] für das das Epsilon-Kriterium für [mm] (x_{2k+1})_{k=0}^ {\infty} [/mm] gilt.
Wenn man dann davon die Differenz bildet liefert einem
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |x_{2k} [/mm] - a - [mm] (x_{2k+1}-a)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (zumindest sollte es das dann sein)
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} |x_{2k} [/mm] - a - [mm] x_{2k+1}+a| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} |x_{2k} [/mm] - [mm] x_{2k+1}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber das ist jetzt mein Problem. Ich komme hier nicht weiter. Denn ich habe ja kein a mehr, mit dem ich die Teile der Folgen abschätzen kann.
Meine ander Idee wäre es mir folgende Folge zu definieren:
[mm] x_{y} [/mm] := [mm] \begin{cases} x_{2k}, & \mbox{für } y \mbox{ gerade} \\ x_{2k+1}, & \mbox{für } y \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Damit hätte ich dann beim [mm] \varepsilon-Beweis [/mm] zwei Fälle. Eben einmal y gerade und einmal ungerade. Beide würden gegen a konvergieren.
Außerdem weiß ich, dass die beiden Teilfolgen die gesamte Folge [mm] x_{n} [/mm] "erzeugen", da sie eben zusammen alle Folgenglieder beinhalten.
mit freundlichen Grüßen
Killuah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 25.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Dann ex. ein [mm] k_1 \in \IN [/mm] mit [mm] |x_{2k}-a|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] k>k_1 [/mm] und ein [mm] k_2 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit [mm] |x_{2k+1}-a|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] k>k_2
[/mm]
Bestimme damit [mm] n_0 [/mm] so, dass gilt:
[mm] |x_n-a|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 01.06.2014 | | Autor: | Killuah |
Ich bin jetzt so weit, dass ich folgendes habe:
Sei [mm] n_{0}:= max{k_{1};k_{2}}.
[/mm]
damit kann ich doch folgendes sagen:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: [/mm] | [mm] x_{n} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dies folgt daraus, dass doch
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] x_{2k} \cup x_{2k+1} [/mm] gilt. (oder denke ich da falsch?)
Vielen Dank schonmal im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 So 01.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ich bin jetzt so weit, dass ich folgendes habe:
>
> Sei [mm]n_{0}:= max{k_{1};k_{2}}.[/mm]
das ist fast 'ne gute Idee: Schreibe aber besser noch einen Faktor [mm] $2\,$ [/mm] dazu,
also
[mm] $n_0:=\red{2}\;\cdot\;\max\{k_1,\;k_2\}\,.$
[/mm]
>
> damit kann ich doch folgendes sagen:
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}:[/mm] | [mm]x_{n}[/mm] - a | < [mm]\varepsilon.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Mit dem verbesserten [mm] $n_0$!)
[/mm]
> Dies folgt daraus, dass doch
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]x_{2k} \cup x_{2k+1}[/mm] gilt. (oder denke ich da
> falsch?)
Auf jeden Fall schreibst Du hier Humbug: Was sollte etwa
[mm] $x_{11}=x_5 \cup x_6$
[/mm]
bedeuten?
Die "richtige" Logik ist die: Ist $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so folgt aus
[mm] $\IN \;=\; \IN_{\text{gerade}} \cup \IN_{\text{ungerade}}:\equiv \{2m:\;\; m \in \IN\} \cup \{2\ell-1_:\;\; \ell \in \IN\}$
[/mm]
(bei mir ist [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}$!), [/mm] dass:
(entweder)
$n [mm] \in \IN_{\text{gerade}}$
[/mm]
oder
$n [mm] \in \IN_{\text{ungerade}}$
[/mm]
gilt. (Dass hier ein '"entweder"-oder' steht, ist unbedeutend, wichtiger ist
einfach nur, dass da ein 'oder' steht.)
Nun sei $n > [mm] n_0$ [/mm] (beachte, dass ich hier, im Gegensatz zu dem von Dir oben
geschriebenen, ein [mm] $>\,$ [/mm] benutze!) beliebig, dann gibt es also zwei Fälle:
1. Fall: Es ist $n [mm] \in \IN_{\text{gerade}}$ [/mm] (d.h. [mm] $n\,$ [/mm] ist gerade). Dann gibt
es ein $m=m(n) [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $n=2*m\,.$
[/mm]
Da aus
$n > [mm] n_0=2*\max\{k_1,\;k_2\}$ [/mm]
insbesondere folgt, dass
$n=2m > [mm] 2k_1$
[/mm]
ist, muss
$m > [mm] k_1$
[/mm]
sein und daher
[mm] $|x_{2m}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
2. Fall: Für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $n=2\ell-1$
[/mm]
mit einem [mm] $\ell=\ell(n) \in \IN\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $2\ell-1 [/mm] > [mm] 2k_2$
[/mm]
und folglich insbesondere
[mm] $\ell [/mm] > [mm] k_2$ [/mm] (warum?),
also...(Bitte zu Ende schreiben!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Killuah |
Zu deinem "Warum?":
Das folgt doch daraus, dass du die Ungleichung
$ [mm] 2\ell-1 [/mm] > [mm] 2k_2 [/mm] $
durch zwei teilst und dann kommt ja
$ [mm] \ell-\bruch{1}{2} [/mm] > [mm] k_2 [/mm] $
raus. Da wir dann aber doch wissen, dass schon das [mm] \ell-\bruch{1}{2} [/mm] echt größer als das [mm] k_2 [/mm] ist muss schon das [mm] \ell [/mm] > [mm] k_2$ [/mm] sein.
und die letzte Zeile lautet dann doch einfach:
$ [mm] |x_{2l-1}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,. [/mm] $
Und vielen Dank schonmal an alle Helfer =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu deinem "Warum?":
>
> Das folgt doch daraus, dass du die Ungleichung
>
> [mm]2\ell-1 > 2k_2[/mm]
>
> durch zwei teilst und dann kommt ja
> [mm]\ell-\bruch{1}{2} > k_2[/mm]
> raus. Da wir dann aber doch
> wissen, dass schon das [mm]\ell-\bruch{1}{2}[/mm] echt größer als
> das [mm]k_2[/mm] ist muss schon das [mm]\ell[/mm] > [mm]k_2$[/mm] sein.
jepp, oder so:
...
[mm] $\Rightarrow$ $\ell [/mm] > [mm] k_2+1/2 [/mm] > [mm] k_2$
[/mm]
> und die letzte Zeile lautet dann doch einfach:
>
> [mm]|x_{2l-1}-a| < \varepsilon\,.[/mm]
>
> Und vielen Dank schonmal an alle Helfer =)
Meinerseits gern geschehen. 
Gruß,
Marcel
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