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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 25.06.2006 | | Autor: | Anub1s |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Falls das hier in der falschen Sparte steht, sorry ;)
Ich habe ein Problem mit einem Rätsel, und weiß nicht so ganz wie ich da ran gehen könnte. Daher würde ich mich über einen Lösungsansatz freuen, mit dem ich selber auf die Lösung kommen kann.
Es geht um 2 Tiere, das eine läuft vom Ursprungspunkt aus an der y-Achse nach oben mit einer Geschwindigkeit von 0,9m/s. Ein zweites Tier startet an einem unbekannten Punkt P1 im 4. Quadranten und läuft mit 1,6m/s. Das zweite Tier läuft zu jedem Zeitpunkt genau auf das 1. Tier zu. Außerdem ist noch bekannt in welchem Winkel am Anfang das 2. Tier zum 1. Tier sieht (also die 1. Ableitung an diesem Punkt P1. Irgendwann treffen sich die beiden Tiere dann in einem Punkt P2 auf der y-Achse, der ebenfalls gegeben ist. Gesucht ist nun der Punkt P1, an dem das 1. Tier losläuft.
Mein Lösungsansatz bisher war, dass das 1. (schnellere) Tier auf einer Funktion der Form f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d entlangläuft (rückwärts). Dabei müsste meiner Meinung nach b=0 gelten. d ist der gegebene y-Wert des Punktes P2, an dem sich die beiden Tiere treffen.
Allerdings komme ich so noch nicht zu einem Ergebnis, ich weiß auch nicht wie ich die Geschwindigkeiten der beiden Tiere ins Spiel bringen soll.
Vielen Dank für jegliche Hilfestellungen und Tips ;)
Anub1s
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 25.06.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Anubis,
ohne viel Nachzudenken:
Das Problem erinnert mich an die "Traktrix".
Habt Ihr gerade "Differenzialgleichungen" durchgenommen?
Dann schau mal im Internet unter diesen beiden Stichpunkten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:16 So 25.06.2006 | | Autor: | Anub1s |
Differentialgleichungen hatten wir in der Schule, is zwar schon etwas her aber ein wenig kann ich damit noch was anfangen.
Zum Stichpunkt Traktrix: Soweit ich das bei Wikipedia verstanden habe ist der Unterschied bei einer Traktrix, dass der Abstand zwischen ziehendem Punkt (1. Tier) und folgendem Punkt (2. Tier) immer gleich bleibt. Hier ist das aber nicht der Fall, da die beiden sich ja treffen. Ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich bei den Gleichungen dort irgendwie die beiden Geschwindigkeiten einbringen könnte.
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Hallo Anub1s,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gleich stürzen sich alle auf mich, werfen mich aus
dem Matheraum und verhauen mich, weil ich die
Stirn habe folgenden Vorschlag zu machen:
$k: [mm] t\to \IR^2$ [/mm] für das Kaninchen.
$h: [mm] t\to \IR^2$ [/mm] für den Hund.
$k(t)= [mm] \vektor{0\\0,9*t}\color{magenta}\frac{m}{s}$
[/mm]
[mm] $h(0)=\vektor{x_{P_1} \\y_{P_1}}\color{magenta}m [/mm] $
$h'(t) = [mm] 1,6*\frac {k(t)-h(t)}{\left|k(t)-h(t) \right|}\color{magenta}*\frac{m}{s}$
[/mm]
[mm] $\mbox{ gesucht }t_2\mbox{, sodass } h(t_2)=k(t_2)$
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, ob das so lösbar ist.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Anub1s |
Hm, muss gestehen dass ich damit nicht so richtig was anfangen kann. Also ich weiß nicht wie ich das jetzt auf mein Problem anwenden soll, bzw. wie ich die Funktion h(t) damit rausbekomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 27.06.2006 | | Autor: | Docy |
Also, hallo erstmal,
ich hab mir da mal was überlegt, aber ich garantiere nicht, dass es richtig ist!!!
[mm] P(x_{1}, y_{1}) [/mm] = Stelle, an der sich das 1. Tier befindet
[mm] P(x_{2}, y_{2}) [/mm] = Stelle, an der sich das 2. Tier befindet
[mm] P_{A} [/mm] = der gesuchte Anfangspunkt
Das erste Tier bewegt sich entlang der y-Achse. Da das zweite Tier sich immer auf das erste zubewegt, muss die Tangente im Punkt [mm] P(x_{2}, y_{2}) [/mm] die y-Achse im Punkt [mm] P(x_{1}, y_{1}) [/mm] schneiden! Dann würde gelten:
[mm] y_{1} [/mm] + [mm] f'(x_{2})*x_{2} [/mm] = [mm] f(x_{2})
[/mm]
Das ist eine Differentialgleichung mit der Lösung (ich hoffe, ich hab da keine dummen Flüchtigkeitsfehler gemacht, vorsichtshalber mal nachrechnen!):
[mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] + [mm] c*x_{2}
[/mm]
Der Winkel ist ja gegeben, sagst du, dann gilt für den Zeitpunkt t = 0:
[mm] f(x_{2}) [/mm] = 0 + [mm] x_{2}*c
[/mm]
setzt man nun für [mm] x_{2} [/mm] den Tangens [mm] tan(\alpha)= \bruch{f(x_{2})}{x_{2}} [/mm] ein, ergibt sich:
[mm] f(x_{2}) [/mm] (1 - [mm] \bruch{c}{tan(\alpha)}) [/mm] = 0
Da ja [mm] \alpha \not= [/mm] 0 (Annahme von meiner Seite) folgt daraus [mm] f(x_{2}) \not= [/mm] 0, also c = [mm] tan(\alpha)
[/mm]
Du sagst, das der Punkt [mm] P_{S} [/mm] gegeben ist, an dem sich beide Graphen schneiden.
Ich denke, wenn du [mm] y_{S} [/mm] durch 0.9 [mm] \bruch{m}{s} [/mm] dividierst und t ausrechnest, dass du dann vielleicht irgendwie mit dem Kurvenintegral deinen Punkt bestimmen kannst, weil du dann die Länge des Graphen, nämlich 1.6 [mm] \bruch{m}{s}*t [/mm] kennst! Da ich noch nicht studiere, weiß ich leider noch nicht so genau, wie das mit dem Kurvenintegral (soll die Länge einer Kurve berechnen) funktioniert...
Ich hoffe, ich konnte dich inspirieren die Aufgabe doch noch irgendwie zu lösen
PS: Falls du eine Lösung findest, wäre es sehr nett, wenn du sie hier mal zeigen könntest, da ich ebenfalls an dieser Aufgabe interessiert bin
Viel Erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 27.06.2006 | | Autor: | Docy |
Ich glaub, ich hab mich bei der Lösung der Differentialgleichung verrechnet.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 27.06.2006 | | Autor: | Anub1s |
Das mit dem Kurvenintegral hab ich mir mal angeschaut, keine schlechte Idee. Hatte schonmal daran gedacht, aber kam nicht drauf wie ich es einsetzen könnte.
Allerdings sieht das mit dem Kurvenintegral nicht so günstig aus. Die Formel für die Länge der Funktion f(x) ist:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \wurzel{1+f'(x)}dx}
[/mm]
und dieses Integral kann weder ich noch Derive bestimmen. Von daher fürchte ich dass man damit nicht weiter kommt. Werde aber noch weiter probieren, falls dir noch was einfällt...
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:44 Mi 28.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Das mit dem Kurvenintegral hab ich mir mal angeschaut,
> keine schlechte Idee. Hatte schonmal daran gedacht, aber
> kam nicht drauf wie ich es einsetzen könnte.
> Allerdings sieht das mit dem Kurvenintegral nicht so
> günstig aus. Die Formel für die Länge der Funktion f(x)
> ist:
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \wurzel{1+f'(x)}dx}[/mm]
> und dieses
> Integral kann weder ich noch Derive bestimmen. Von daher
> fürchte ich dass man damit nicht weiter kommt. Werde aber
> noch weiter probieren, falls dir noch was einfällt...
Hallo: Versuch mal, die Wurzel zu substituieren.
[mm] \integral_{a}^{b}{ \wurzel{1+f'(x)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{\wurzel{a}}^{\wurzel{b}}{ 1+f'(x)dx} [/mm] = [x + [mm] f(x)]^{\wurzel{b}}_{\wurzel{a}}
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:36 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Anub1s |
Also wenn mich nicht alles täuscht, kann man aber so nicht substituieren oder?
Ich habe als Beispiel in deiner Gleichung einfach mal f(x) = x gewählt, dann kommen auf jeden fall unterschiedliche werte für die beiden Integrale raus. So kann man glaube ich nicht substituieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Do 29.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hi,
hast du's schon mal mit der arcsin(x)-Funktion versucht? Vielleicht kann man damit substituieren? Ich selbst hab's leider noch nicht versucht....(muss grad noch schnell was anderes machen)
Gruß Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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