2 uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:
a) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{log(x)}{\wurzel{x}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Hallo,
also wie in der Aufgabe steht, soll ich nun "entscheiden" ob die beiden Integrale existieren. So richtig weiß ich jedenfalls nicht wie ich diese Entscheidung fällen soll. Deshalb mal hier mein Lösungsversuch:
Zu Teilaufgabe a):
Betrachtung der Integranten:
Kritische Stellen: log(0) ist nicht definiert und 1/0 ebenfalls nicht
Also hab ich nun die Stammfunktion gebildet mit der part. Integration:
[mm] 2\wurzel{x}log(x)-\integral_{}^{}{2\wurzel{x}/x dx}=2\wurzel{x}(log(x)-2)+c
[/mm]
Hierdurch wurde jetzt eine kritische Stelle nämlich die 1/0 umgangen aber leider kommt trotzdem noch der log(x) vor und der wird ja wenn x gegen 0 läuft unendlich. Ist das nun hinreichend genug dafür, dass das uneigentliche Integral nicht existiert?
Zu Teilaufgabe b):
Hier hab ich mir wieder wie schon bei a) die kritischen Stellen angeschaut und gesehen, dass auch hier wieder log(0) und 1/0 kritisch sind.
Wie oben hab ich dann versucht das Integral zu berechnen, jedoch komme ich persönlich auf keinen grünen Zweig und auch die online-Rechner können kein Integral angeben...
Würde mich über eine Antwort freuen.
Gruß Fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fawkes!
Was stört Dich denn immer an [mm] $\log(1)$ [/mm] ? Das ist doch mit [mm] $\log(1) [/mm] \ = \ 0$ wunderbar geklärt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Sorry verschrieben, ändere es sofort :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
An einer Antwort bin ich auch weiterhin interessiert :)
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[mm]\lim_{t \to 0} \left( t \log t \right) = 0[/mm]
Und wenn du in deinem Ausdruck [mm]x=t^2[/mm] substituierst, kommst du genau darauf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hey,
erstmal vielen Dank für eure Antworten.
Habe jetzt zuerst den Tipp von Leopold angewendet und damit folgende Stammfkt. gefunden:
...=4tlogt-4t+c
Da sich ja an den Grenzen nix ändert, kann ich jetzt den Grenzwert tlogt anwenden und bekomme dann, dass dieser Ausdruck für t gegen 0 auch gegen 0 läuft.
Also bleibt nur noch t=1 und damit folgt für das Integral das es gegen -4+c geht, da ja log1=0 wie Loddar oben schon richtigerweise gesagt hat.
Jetzt meine Frage zu Loddars Antwort: Wie sieht denn dann der Nenner aus, wenn ich den l'Hospital anwenden soll? Habs jetzt mit einer Erweiterung um [mm] \wurzel{x} [/mm] versucht und das wird auch 0 wenn man den l´Hospital zweimal anwendet...
An Leopold hätte ich auch noch eine Frage und zwar, ob der Tipp auch für den Aufgabenteil b) gilt oder ob ich mir da den Versuch schenken kann?
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch um den GW t*lnt=lnt/(1/t) darauf L'hopital.
zu b) verwende a) bei 0 und danach für unendlich abschätzen des Integranden. was die Subst von Leopold bewirkt hast du schneller ausprobiert als gefragt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort leduart.
Dass der tlnt gegen 0 geht für t gegen 0 ist mir soweit klar und brauche ich da ich es schon in Ana 1 hatte auch nicht extra mit l´Hospital beweisen.
Bei b) würde ich jetzt zuerst das Integral aufteilen, sodass es so ausschaut:
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx}+\integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] wobei ich a als 1 wählen würde, da dadurch der ln ja 0 wird.
Ähm und jetzt mal ne ganz doofe Frage aber darf man unendlich eigentlich quadrieren, denn wenn ich jetzt den Tipp von Leopold anwende, dann würde ich die Grenzen ja quadrieren müssen...
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn den Tip auf das b) Integral angewandt?
(wenn t beliebig gross wird, dann natürlich auch jede potenz von t!
Hast du meinen Rat gelesen?
die Aufteilung ist ok, du brauchst dann die 2 Grenzübergänge nach 0 und unendlich.
es geht NICHT darum, das integral explizit auszuwerten, sondern nur darum, ob es existiert (also endlich ist)!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
also ich habe den Tipp von Leopold zuerst auf den Aufgabenteil a) angewendet und damit diesen Aufgabenteil auch vollständig gelöst.
Jetzt habe ich versucht diesen Tipp auch auf Aufgabenteil b) anzuwenden, worauf du ja geschrieben hattest, dass man das direkt sieht...
Betrachte ich jetzt also das Integral aus b) und teile es auf, dann sieht es wie folgt aus:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}=\limes_{R\rightarrow0^+}\integral_{R}^{1}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}+\limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{1}^{R}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}
[/mm]
Betrachte ich diese beiden Integrale nun einzeln und fange zuerst mit dem Ersten an:
[mm] \limes_{R\rightarrow0^+}\integral_{R}^{1}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}
[/mm]
hier hast du gesagt, dass ich den Aufgabenteil a) anwenden soll. Jedoch besteht ja noch durch den Ausdruck [mm] \bruch{1}{1+x^4} [/mm] ein Unterschied zwischen den beiden Aufgabenteilen...
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{1}^{R}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}
[/mm]
hier soll ich nun abschätzen. Am besten sollte ich dann ja wohl den log(x) wegbekommen, da dieser ja nur auf (0,1) def. ist...
Ist das soweit richtig?
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der tip mit [mm] t^2=x [/mm] solltest du gemerkt haben, hilft bei b) nicht viel.
wenn du ein Integral über f(x) hast, das existiert, dann auch ein Integral über g(x) falls [mm] |k*g(x)|\le|f(x)| [/mm] oder a*max(g(x))<max(f(x)9 im betrachteten Intervall
(weisst du warum?) mit solchen Überlegungen musst du hier vorgehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Also wenn ich das richtig sehe, soll ich das doch jetzt nach unten abschätzen oder? Hab es bis jetzt jedenfalls nur gesehen, dass nach oben abgeschätzt wird.
Das sieht dann so aus:
[mm] |f(x)|\le|g(x)|
[/mm]
wobei [mm] f(x)=\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}}
[/mm]
Und eben bei dieser nun verlangten Abschätzung hab ich Probleme, da man im Nenner nicht einfach ne +1 oder so weglassen kann und das ganze Ding dadurch dann größer wird...
Auf welchen der drei Teile, sprich log(x), [mm] (1+x^4) [/mm] oder [mm] \wurzel{x} [/mm] sollte ich mich bei der Abschätzung denn am besten konzentrieren?
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du in a gerade [mm] logx/\wurzel{x} [/mm] bewiesen hast, lass die stehen
[mm] 1+x^4>1 [/mm] für ALLE x !
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:42 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Ok das hab ich schon gemacht.
[mm] 1+x^4>1 \gdw 1>1/1+x^4
[/mm]
Damit ist das erste Integral ja dann wieder -4 und das zweite Integral muss man wieder mit dem Grenzwert betrachten, also
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{1}^{R}{\bruch{log(x)}{(1+x^4)\wurzel{x}} dx}<\limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{1}^{R}{\bruch{log(x)}{\wurzel{x}} dx}
[/mm]
Ist dort der Grenzwert wieder durch l´Hospital bestimmt?
Habs jetzt jedenfalls so gemacht:
[mm] \bruch{log(x)}{\wurzel{x}}=\bruch{1/x}{1/2\wurzel{x}}=\bruch{2\wurzel{x}}{x}=\bruch{2}{\wurzel{x}}=\bruch{0}{1/2\wurzel{x}}=0*2\wurzel{x}=0 [/mm] ist das so richtig oder reicht das nicht?
Gruß Fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | matux |
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Herr de l'Hospital