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Forum "Uni-Stochastik" - 2tes Moment berechnen
2tes Moment berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2tes Moment berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Do 25.03.2010
Autor: Peon

Aufgabe
Berechnen sie das zweite Moment und die Varianz von [mm] M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}} [/mm]

Das 2te Moment soll berechnet werden und die Varianz.
Ausgehend von $ [mm] M_{X}(t)=\bruch{\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})} [/mm] $

Ich habe das 2te Moment folgends berechnet:
Es gilt 2tes Moment:
$ [mm] E(x^{2})=M''_{X}(0) [/mm] $

M'_{X}(t) = $ [mm] \bruch{2t\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{2}} [/mm] $

M''_{X}(t) = $ [mm] \bruch{2\lambda^{2}(\lambda^{2}-t^{2})^{2}+2t\lambda^{2}2(\lambda^{2}-t^{2})2t}{(\lambda^{2}-t^{2})^{4}} [/mm] $                 (*)

nach unsauber kürzen und zusammenfassen komme ich auf:
$ [mm] M''_{X}(t)=\bruch{2\lambda^{4}+6t^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{3}} [/mm] $

Also an der Stelle t=0
$ [mm] M''_{X}(0)=\bruch{2\lambda^{4}}{\lambda^{6}} [/mm] $

Setze ich allerdings (*) t=0 komme ich auf
M''_{X}(0)= 2

Da hackts bei mir grade und ich habe es schon x-mal nachgerechnet komme aber einfach nicht auf die richtige lösung. Denke mir es sollte wenigstens ein $ [mm] \lambda [/mm] $ erhalten bleiben aber der "richtigere" Rechenweg scheint mir der genauere.

Zur Varianz:
Es gilt nach Verschiebungssatz VAR(X)= $ [mm] E(X^{2})-E(X)^{2} [/mm] $
Mit dem ersten und zweiten Moment komme ich dabei auf
$ [mm] VAR(X)=M''_{X}(0)-(M'_{X}(0))^{2} [/mm] $
Dabei habe ich dann das Problem, dass das erste Moment im Punkt t=0 M'_{X}(0)=0 annimmt.
Ist daher hier das zweite Moment gleich der Varianz?
kann man die aussage für $ [mm] D(\lambda)-verteilte [/mm] $ ZV verallgemeinern? (nur eine Zusatzfrage)

Ich danke
Peon

        
Bezug
2tes Moment berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 25.03.2010
Autor: MathePower

Hallo Peon,

> Berechnen sie das zweite Moment und die Varianz von
> [mm]M_{X}(t)= \bruch{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-t^{2}}[/mm]
>  Das 2te
> Moment soll berechnet werden und die Varianz.
>  Ausgehend von
> [mm]M_{X}(t)=\bruch{\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})}[/mm]
>  
> Ich habe das 2te Moment folgends berechnet:
>  Es gilt 2tes Moment:
>  [mm]E(x^{2})=M''_{X}(0)[/mm]
>  
> M'_{X}(t) = [mm]\bruch{2t\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{2}}[/mm]
>  
> M''_{X}(t) =
> [mm]\bruch{2\lambda^{2}(\lambda^{2}-t^{2})^{2}+2t\lambda^{2}2(\lambda^{2}-t^{2})2t}{(\lambda^{2}-t^{2})^{4}}[/mm]
>                 (*)
>  
> nach unsauber kürzen und zusammenfassen komme ich auf:
>  
> [mm]M''_{X}(t)=\bruch{2\lambda^{4}+6t^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-t^{2})^{3}}[/mm]
>  
> Also an der Stelle t=0
>  [mm]M''_{X}(0)=\bruch{2\lambda^{4}}{\lambda^{6}}[/mm]
>  
> Setze ich allerdings (*) t=0 komme ich auf
>  M''_{X}(0)= 2


Nach Deinen Ausführungen steht hier: [mm]M''_{X}\left(0\right)=\bruch{2}{\lambda^{2}}[/mm]


>  
> Da hackts bei mir grade und ich habe es schon x-mal
> nachgerechnet komme aber einfach nicht auf die richtige
> lösung. Denke mir es sollte wenigstens ein [mm]\lambda[/mm]
> erhalten bleiben aber der "richtigere" Rechenweg scheint
> mir der genauere.
>  
> Zur Varianz:
>  Es gilt nach Verschiebungssatz VAR(X)= [mm]E(X^{2})-E(X)^{2}[/mm]
>  Mit dem ersten und zweiten Moment komme ich dabei auf
>  [mm]VAR(X)=M''_{X}(0)-(M'_{X}(0))^{2}[/mm]
>  Dabei habe ich dann das Problem, dass das erste Moment im
> Punkt t=0 M'_{X}(0)=0 annimmt.
>  Ist daher hier das zweite Moment gleich der Varianz?


Ja.


>  kann man die aussage für [mm]D(\lambda)-verteilte[/mm] ZV
> verallgemeinern? (nur eine Zusatzfrage)
>  
> Ich danke
>  Peon


Gruss
MathePower

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