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Hallo,
ich soll das Integral
[mm] \integral e^x [/mm] sin x bestimmen
Ich wollte partiell Integrieren, also:
f=sin x, f'=cos x
[mm] g'=e^x, g=e^x
[/mm]
[mm] \integral e^x [/mm] sinx= [mm] e^x [/mm] sinx - [mm] \integral [/mm] cos x [mm] e^x
[/mm]
nun
f=cos x f'=- sin x
g= [mm] e^x, g'=e^x
[/mm]
also:
[mm] \integral [/mm] cos x [mm] e^x [/mm] = cos x [mm] e^x [/mm] + [mm] \integral [/mm] sin x [mm] e^x
[/mm]
Aber was muss ich nun tun? Ich sehe irgendwie nicht das Ziel der ganzen Rechnung, weder bei einfacher noch bei mehrmaliger partieller Integration. Kann jemand helfen?
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Hallo Englein,
hattest Du die Aufgabe nicht neulich schonmal?
Du kannst jetzt die beiden partiellen Integrationsschritte wie folgt zusammenfassen:
[mm] \int{e^x\sin{x}}=e^x\sin{x}-\blue{\int{e^x\cos{x}}}=e^x\sin{x}-\blue{\left(e^x\cos{x}+\int{e^x\sin{x}}\right)}
[/mm]
Jetzt behandelst Du Dein gesuchtes Integral, das ja ganz links und ganz rechts vorkommt, als wäre es eine Variable und formst die beiden äußeren Seiten der obigen Gleichung um:
[mm] 2*\int{e^x\sin{x}}=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}
[/mm]
woraus folgt:
[mm] \int{e^x\sin{x}}=e^x\ \bruch{\sin{x}-\cos{x}}{2}
[/mm]
Fertig.
Grüße,
reverend
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> hattest Du die Aufgabe nicht neulich schonmal?
>
> Du kannst jetzt die beiden partiellen Integrationsschritte
> wie folgt zusammenfassen:
>
> [mm]\int{e^x\sin{x}}=
ist ja mein Ausgangsintegral
e^x\sin{x}-\blue{\int{e^x\cos{x}}}
ist ja meine erste Integration
=e^x\sin{x}
wo kommt das her?
-\blue{\left(e^x\cos{x}+\int{e^x\sin{x}}\right)}[/mm]
und das?
>
> Jetzt behandelst Du Dein gesuchtes Integral, das ja ganz
> links und ganz rechts vorkommt, als wäre es eine Variable
> und formst die beiden äußeren Seiten der obigen Gleichung
> um:
>
> [mm]2*\int{e^x\sin{x}}=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}[/mm]
>
> woraus folgt:
>
> [mm]\int{e^x\sin{x}}=e^x\ \bruch{\sin{x}-\cos{x}}{2}[/mm]
>
Ja, nur irgendwie habe ich mir nicht genau aufgeschrieben, wieso ich so umformen konnte.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen was aus welcher Gleichung rausgezogen und dann miteinander verrechnet wird. Wahrscheinlich willst du das mit dem blau deutlich machen? Aber ich sehe das irgendwie grad kein System, kannst du mir auf die Sprünge helfen bitte?
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Hallo Englein!
Im Prinzip hast Du eine Gleichung der Art
[mm] $$\blue{X} [/mm] \ = \ [mm] \text{irgendwas}-\blue{X}$$
[/mm]
vorliegen.
Dies kann man nun wie gewohnt umformen zu:
[mm] $$\blue{X} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\text{irgendwas}}{2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 04.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Englein,
mein Blau stammt aus dem zweiten Durchgang partieller Integration und ist nicht zu verwechseln mit Roadrunners Blau, das die gleichen X hervorhebt.
Erster Durchgang:
Integral mit Sinus = sowienoch - Integral mit Cosinus
Zweiter Durchgang:
Integral mit Cosinus = wasanderes + Integral mit Sinus
Zweite Gleichung in erste eingesetzt:
Integral mit Sinus = sowienoch - wasanderes - Integral mit Sinus
Klar?
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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