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| Aufgabe | Auf dem Intervall [mm] [-\pi, \pi) [/mm] folgende Funktion:
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{für } -\pi \le x < \pi/2 \\
\pi/2-|x|, & \mbox{für } -\pi/2 \le x < \pi/2\\
0, & \mbox{für } \pi/2 \le x < \pi \\
\end{matrix}\right.
[/mm]
in gewöhnliche Fourierreihe entwickeln |
Hallo!
Die Funktion ist meiner Ansicht nach gerade, d.h. bk = 0 für alle bk*sin(kx)
ak sollte folgendes Integral sein: [mm] \bruch{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-|x|+\bruch{\pi}{2})*cos(kx)\, [/mm] dx
Die Integrale von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] -\pi/2 [/mm] bzw. [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi [/mm] sind jeweils 0, daher fallen sie weg.
Da meine Funktion, sowie cos(kx) gerade ist kann ich 2*das Integral über die Hälfte nehmen und hab dann: [mm] \bruch{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} (-x+\bruch{\pi}{2})*cos(kx)\, [/mm] dx
Wenn ich es jetzt allerdings auszurechnen versuche komme ich auf:
[mm] \bruch{sin(\bruch{\pi*k}{2})}{k} [/mm] und [mm] \bruch{-\pi*k*x*sin(\bruch{\pi*k}{2})+2cos(\bruch{\pi*k}{2})-2}{\pi*k^2}
[/mm]
bzw. wenn ich es direkt ausrechne:
[mm] \bruch{4*sin(\bruch{\pi*k}{4})^2}{\pi*k^2}
[/mm]
Nur wie komm ich von dem, auf eine Form unabhängig von cos/sin also 1 bzw. [mm] (-1)^n [/mm] etc.?
Gibt es da irgendwelche Tricks oder ähnliches?
Besten Dank!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 10.11.2013 | | Autor: | chrisno |
> Auf dem Intervall [mm][-\pi, \pi)[/mm] folgende Funktion:
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> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{für } -\pi \le x < \pi/2 \\
\pi/2-|x|, & \mbox{für } -\pi/2 \le x < \pi/2\\
0, & \mbox{für } \pi/2 \le x < \pi \\
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> in gewöhnliche Fourierreihe entwickeln
> Hallo!
> Die Funktion ist meiner Ansicht nach gerade, d.h. bk = 0
> für alle bk*sin(kx)
>
> ak sollte folgendes Integral sein: [mm]\bruch{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-|x|+\bruch{\pi}{2})*cos(kx)\,[/mm]
> dx
> Die Integrale von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]-\pi/2[/mm] bzw. [mm]\pi/2[/mm] bis [mm]\pi[/mm] sind
> jeweils 0, daher fallen sie weg.
>
> Da meine Funktion, sowie cos(kx) gerade ist kann ich 2*das
> Integral über die Hälfte nehmen und hab dann:
> [mm]\bruch{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} (-x+\bruch{\pi}{2})*cos(kx)\,[/mm]
> dx
>
> Wenn ich es jetzt allerdings auszurechnen versuche komme
> ich auf:
> [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi*k}{2})}{k}[/mm] und
> [mm]\bruch{-\pi*k*x*sin(\bruch{\pi*k}{2})+2cos(\bruch{\pi*k}{2})-2}{\pi*k^2}[/mm]
>
> bzw. wenn ich es direkt ausrechne:
> [mm]\bruch{4*sin(\bruch{\pi*k}{4})^2}{\pi*k^2}[/mm]
Was die verschiedenen Varianten bedeuten sollen, verstehe ich nicht. Macht nichts, vielleicht brauchst Du sowieso nur die Antwort weiter unten.
>
> Nur wie komm ich von dem, auf eine Form unabhängig von
> cos/sin also 1 bzw. [mm](-1)^n[/mm] etc.?
> Gibt es da irgendwelche Tricks oder ähnliches?
Schau mal die Werte für den Sinus nach. [mm] $\sin(\bruch{\pi}{4} [/mm] =$, [mm] $\sin(\bruch{\pi}{2} [/mm] =$,
[mm] $\sin(\bruch{3\pi}{4} [/mm] =$, und so weiter.
>
> Besten Dank!
> lg
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Hab nur die verschiedenen Varianten hingeschrieben falls es bei einem leichter wäre als beim anderen.
Die Werte springen zwischen [mm] \wurzel{2} [/mm] (nur beim ersten Wert) 1,-1, 0 herum. Wirklich weiter bringen tut mich das nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 10.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Das sollte Dich aber weiterbringen. Nimm mal den ersten Wert raus aus der Betrachtung, dann wird die Sache doch recht übersichtlich.
Viele Grüße,
Infinit
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Dann sehe ich wenn ich mir paar Werte rausschreibe, dass es in etwa so abläuft: 2 - 4 - 2 - 0 - 2 - 4 - 2 - 0 (Wenn ich direkt in [mm] 4*sin(\bruch{\pi*k}{4})^2 [/mm] einsetzte
Es wechselt also im Zähler zwischen 2 und 4 und jeder 4. Wert ist 0.
Mir fehlt aber der Ansatz wie ich das hinbekomme. Eine Folge die zwischen 2 und 4 wechselt ist nicht weiter schwer. Das jeder 4. Wert 0 ist schaff ich allerdings nicht.
Gibt es da keine Formeln/Schemata wie man die Folge findet?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 12.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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