3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 3, Klasse 9 ("Summe") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe | Datum: | 18:16 Do 01.04.2004 | Autor: | Stefan |
Gesucht sind alle aus verschiedenen Ziffern bestehenden dreistelligen Zahlen, bei denen die Summe aller aus je zwei ihrer Ziffern zu bildenden zweistelligen Zahlen gleich dem Doppelten der Zahl ist.
Viel Spaß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 09:55 Di 06.04.2004 | Autor: | Brigitte |
Hallo Mathe-Freaks!
Da offensichtlich einige von euch im Urlaub sind, versuche ich mich mal an dieser Aufgabe, bevor sie gar niemand (oder Stefan) beantwortet.
Laut Aufgabenstellung suchen wir drei Ziffern, nennen wir sie
[mm]x,y[/mm] und [mm]z[/mm] mit [mm]x,y,z\in\{0,1,\ldots,9\}[/mm]
und [mm]x\neq y, y\neq z, x\neq z[/mm]. Die gesuchte Eigenschaft dieser
drei Ziffern formulieren wir damit so:
Die dreistellige Zahl sei [mm]100z+10y+x[/mm]. Die zweistelligen Zahlen, die summiert doppelt so groß sein sollen wie diese dreistellige Zahl, sind
[mm]10x+y,10x+z,10y+x,10y+z,10z+x,10z+y[/mm].
Diese Bedingung führt zur Gleichung
[mm]22(x+y+z)=2(100z+10y+x).[/mm]
oder besser
[mm]11(x+y+z)=100z+10y+x.[/mm]
Daran sieht man, dass die dreistellige Zahl sowohl durch 11 als auch durch ihre Quersumme teilbar sein muss. Für die Quersumme kommen aber nur Zahlen größer gleich 10 (damit die rechte Seite dreistellig ist) und kleiner gleich 24 (durch obige Bedingungen an [mm]x,y,z[/mm] in Frage. Das bedeutet aber wiederum für die Hunderterstelle [mm]z[/mm], dass sie entweder 1 oder 2 ist, weil mit 11 multipliziert wird, um auf die dreistellige Zahl zu kommen. Dies beeinträchtigt wiederum die Quersumme [mm]x+y+z[/mm], die damit höchstens den Wert 19 annehmen kann. Die Quersumme ist somit von der Form
[mm]x+y+z=10+a[/mm]
mit [mm]a\in\{0,1,2,\ldots,9\}[/mm].
Bei Multiplikation mit 11 ergibt sich aber die Zahl
[mm]1\quad a+1 \quad a[/mm]
mit der Quersumme 1+(a+1)+a=2a+2. Setzt man dies mit der Ausgangsgleichung für die Quersumme gleich, erhält man
[mm]2a+2=10+a[/mm]
und daraus [mm]a=8[/mm]. Die Quersumme lautet also 18 und die gesuchte dreistellige Zahl ist 198.
Ich bin mir leider bewusst, dass der zweite Teil der Ausführungen nicht besonders elegant ist, aber ich bin sicher, dass noch jemand eine nettere Lösung parat hat.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 10:31 Di 06.04.2004 | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!!
Ich habe die Aufgabe im Prinzip genauso gelöst, an dieser Stelle
> [mm]11(x+y+z)=100z+10y+x.[/mm]
habe ich es noch weiter umgeformt zu
[mm]89z = 10x+y[/mm],
woraus dann wegen [mm]10x+y\le 98 < 2\cdot 89[/mm] sofort
[mm]z=1[/mm] (und damit dann [mm]x=8[/mm] und [mm]y=9[/mm]) folgt,
aber das ist nur eine Marginalie.
Herzlichen Dank, dass du mir die Arbeit abgenommen hast!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 11:07 Di 06.04.2004 | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Das ist natürlich wesentlich schneller und auch ein wenig eleganter als meine Herangehensweise. Prima. Wie viel Zeit wurde den Schülern damals eigentlich zur Beantwortung der Fragen gegeben? Waren das "Hausaufgaben" oder Aufgaben, die vor Ort unter Zeitdruck gelöst werden mussten?
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:06 Di 06.04.2004 | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also in der Festschrift "40 Jahre Mathematik-Olympiaden in Deutschland" steht:
Vom Schuljahr 1962/1963 an konnten die 4 Runden etwa so wie heute durchgeführt werden. Dei Olympiaden fanden ein breites öffentliches Interesse. Zeitungen, Rundfunk, Fernsehen und Wochenschau berichteten ausführlich über Aufgaben, Teilnehmer und das Rahmenprogramm der Wettbewerbe. Die Teilnehmerzahlen waren sehr hoch. 1966/67 wurden in der 1. Runde (Hausaufgaben) 987000 Teilnehmer registriert, das waren eta 75% der zur Teilnahme berechtigten Schüler. Zweifellos gab es dabei auch Abschreiber und solche, die die Aufgaben von Älteren hatten lösen lassen. Die zu Hause zu lösenden Aufgaben wurden in den Anfangsjahren leider von einigen Schulfunktionären und Lehrern als obligatorisch zu erbringende Leistungen missbraucht, was nicht im Sinne der Olympiadebewegung war und zu Unmut führte. Die Klausurwettbewerbe hatten 1966/67 in der 2. Runde (Kreisolympiade) 5000, in der 3. Runde (Bezirksolympiade) 2770 und in der 4. Runde (DDR-Olympiade) 240 Teilnehmer. Aus dem Kreis der Preisträger der 4. Runde wurden die 12 bis 14 Kandidaten für einen etwa 10-tägigen Vorbereitungskurs zur Internationalen Mathematik-Olympiade ausgewählt (damals bestand ein Team aus [mm]8[/mm] Schülern).
Nun, damit hatte ich Unrecht: Schon ab der 2. Runde gibt es Klausuren! Das ist auch heute noch so. So lauten die Regeln in Nordrhein-Westfalen wie folgt:
Die erste Runde (Schulrunde) wird im September eines jeden Jahres- in der Regel als Hausaufgabenwettbewerb - von den einzelnen Schulen durchgeführt. Interessierte Lehrerinnen und Lehrer erhalten dazu die Aufgaben und Lösungen von ihrem Regionalkoordinator oder von unserer Geschäftsstelle. Ab dem 1. September stehen die Aufgaben auch im Internet. In diesem Jahr gibt es für jeweils zwei Klassen insgesamt sechs Aufgaben. Die Schulen können daraus z.B. vier Aufgaben für jede Klasse auswählen. Sie können die Aufgaben auch verändern oder durch eigene ersetzen. Die Lösungen sollten nicht vor den Herbstferien bekanntgegeben werden. Letztlich liegt die Organisation der ersten Runde, die Korrektur der Arbeiten und die Auswahl der Teilnehmer für die zweite Runde in der Verantwortung der einzelnen Schulen.
Die zweite Runde (Regionalrunde) wird jeweils im November als Klausurwettbewerb für die Schulen eines Kreises oder einer kreisfreien Stadt durchgeführt. Dazu erhalten diese von ihren Regionalkoordinatoren die Aufgaben sowie weitere Informationen. Schulen in Regionen ohne Koordinator wenden sich bitte an unsere Geschäftsstelle. Ab dem 1. Dezember stehen die Aufgaben im Internet. Vor diesem Termin sollten keine Lösungen bekanntgegeben werden. Jede Region erhält eine festgelegte Anzahl von Plätzen für die dritte Runde und entscheidet selbst über die Auswahl ihrer Teilnehmer.
Als dritte Runde wird im Februar in einer Stadt in Nordrhein-Westfalen zentral der Landeswettbewerb Mathematik durchgeführt. Die von den Regionen gemeldeten Schülerinnen und Schüler werden dazu vom Landesverband eingeladen. Die Arbeiten werden am Nachmittag korrigiert, dabei wird die Hilfe vieler Kollegen benötigt. Die Siegerehrung ist etwa einen Monat später. Auf die Preisträger warten Bücher und Einladungen zu mathematischen Fördermaßnahmen.
Die vierte Runde findet im Mai eines jeden Jahres als Deutsche Mathematik-Olympiade statt. An ihr nehmen Schülerinnen und Schüler aus allen Bundesländern teil. Sie wird in jedem Jahr von einem anderen Bundesland veranstaltet.
Es lohnt sich übrigens, statistisch gesehen, über die Aufgaben nachzudenken:
Im Jahre [mm]1993[/mm] wurde eine Befragung von Teilnehmern der 4. Runde der Mathematik-Olympiade der Jahre [mm]1963[/mm] bis [mm]1973[/mm] durchgeführt. Von [mm]357[/mm] Teilnehmern waren [mm]201[/mm] Diplommathematiker oder Mathematiklehrer geworden sowie [mm]140[/mm] Naturwissenschaftler und Ingenieure. Davon haben [mm]194[/mm] zum Dr. rer . nat. oder Dr. paed. (Mathematik-Didaktik) promoviert, darunter hatten sich [mm]52[/mm] habilitiert. [mm]49[/mm] promovierten zum Dr.-Ing., von denen sich [mm]5[/mm] habilitierten. [mm]8[/mm] promovierten in anderen Disziplinen. Einer - nämlich Dr. rer. nat. Reinhard Höppner - wurde zum Ministerpräsidenten (von Sachsen-Anhalt) gewählt, [mm]26[/mm] wurden zu Professoren berufen, [mm]15[/mm] waren Dozenten.
Wow!!
Immerhin haben wir schon ein paar Aufgaben der 4. Runde gelöst, das macht Hoffnung. Wobei man bei dir ja nicht hoffen muss, sondern sicher sein kann, dass du auch ohne diese Mathe-Wettbewerbs-Ausbildung promovierst.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:39 Di 06.04.2004 | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Vielen Dank für Deine intensiven Nachforschungen!!!
Sehr interessant. Aber auch frustrierend, wenn man bedenkt, wie viel Zeit es uns (oder jedenfalls mich) kostet, die Lösung zu einer einzigen Aufgabe zu hinzubekommen, wenn das als Klausuraufgabe gestellt wurde...
Na ja, Übung macht den Meister. In der Statistik hätte ich aber auch gerne mal gewusst, wie viele promovierte Mathematiker (zB) nicht an der Mathematik-Olympiade teilgenommen haben
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:56 Di 06.04.2004 | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ja, das stimmt natürlich, das wäre sehr interessant. Ich weiß aber, dass so gut wie alle Mathe-Professoren, jedenfalls in Bonn, irgendwann einmal bei einer Mathe-Olympiade oder am Bundeswettbewerb teilgenommen haben, ich habe da mal vor Jahren eine Umfrage in der Fachschaft unter den Professoren gesehen. Also, es schadet zumindestens nicht...
Liebe Grüße
Stefan
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