3. Punkt eines 3-Ecks < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | crimac |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen!
Ich habe folgendes Problem:
Von einem 3-Eck sind 2 Punkte bekannt und somit ja auch die verbindende Gerade. Ausserdem sind die beiden Winkel bekannt, in denen die anderen beiden Seiten des 3-Ecks von dieser Geraden abgehen.
Ich möchte nun die Koordinaten des 3. Punktes des 3-Ecks bestimmen.
Als Ansatz ist mir die Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens in den Sinn gekommen.
Leider stehe ich im Moment voll auf dem Schlauch, wie ich aus dem Ursprungspunkt der Gerade und dem Winkel zu einer anderen Geraden auf eine Geradengleichung komme, die ich in dem Verfahren nach Gauß benutzen kann.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 27.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Cristoph! Erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen!
> Ich habe folgendes Problem:
> Von einem 3-Eck sind 2 Punkte bekannt und somit ja auch
> die verbindende Gerade.
Hier hast du doch bestimmt die Zweipunktegleichung benutzt.
> Ausserdem sind die beiden Winkel
> bekannt, in denen die anderen beiden Seiten des 3-Ecks von
> dieser Geraden abgehen.
> Ich möchte nun die Koordinaten des 3. Punktes des > 3-Ecks bestimmen.
Da du hier einen Punkt und einen Winkel hast, kannst du ja nun die Punktrichtungsgleichung benutzten. Es gilt ja [mm] m=tan\alpha [/mm] für die Steigung.
So, zwei Gersdengleichungen aufstellen und sich schneiden lassen.
> Als Ansatz ist mir die Lösung eines Gleichungssystems mit
> Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens in den Sinn
> gekommen.
> Leider stehe ich im Moment voll auf dem Schlauch, wie ich
> aus dem Ursprungspunkt der Gerade und dem Winkel zu einer
> anderen Geraden auf eine Geradengleichung komme, die ich in
> dem Verfahren nach Gauß benutzen kann.
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
> Gruß,
> Christoph
Viel Spass beim Rechnen!
Mfg Aram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 27.05.2008 | | Autor: | crimac |
Vielen Dank erstmal für die Antwort und fürs willkommen heissen ;)
Das Problem ist, dass ich ja nicht die Winkel der beiden Geraden zur X-Achse (also die Steigung) habe, sondern den Winkel der beiden Gerade zu der Verbindungsgerade von den beiden bekannten Punkten.
Vielleicht sollte ich mal mein Problem weiter erläutern. Ich denke nämlich bestimmt auch mal wieder viel zu kompliziert.
Mein Problem ist eigentlich, dass ich zuerst einmal alle 3 Punkte eines 3-Ecks habe.
Dieses 3-Eck wird verschoben (durch Translation und Rotation). 2 Punkte des 3-Ecks werden nun ausgemessen. Aus diesen Messergebnissen möchte ich an Hand der Informationen aus dem unverschobenen 3-Eck nun die Koordinaten des fehlenden 3. Punktes ermitteln.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 27.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo nochmal, Cristoph. ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
> Vielen Dank erstmal für die Antwort und fürs willkommen
> heissen ;)
> Das Problem ist, dass ich ja nicht die Winkel der beiden
> Geraden zur X-Achse (also die Steigung) habe, sondern den
> Winkel der beiden Gerade zu der Verbindungsgerade von den
> beiden bekannten Punkten.
Dadurch wird zwar der Rechenaufwand etwas größer, der eigentliche Weg bleib aber der alte.
Von der ersten Geraden ist dir ja die Steigung bekannt und die ist ja auf die x-achse bezogen. Es gilt weiterhin [mm] m=tan\alpha
[/mm]
Je nach dem wie dein Dreieck positioniert ist, berechnest nun deinen Winkel auf die x-achse bezogen.
Wenn du eine Skizze machst, dann siehst du auch wie.
> Vielleicht sollte ich mal mein Problem weiter erläutern.
> Ich denke nämlich bestimmt auch mal wieder viel zu
> kompliziert.
> Mein Problem ist eigentlich, dass ich zuerst einmal alle 3
> Punkte eines 3-Ecks habe.
> Dieses 3-Eck wird verschoben (durch Translation und
> Rotation). 2 Punkte des 3-Ecks werden nun ausgemessen. Aus
> diesen Messergebnissen möchte ich an Hand der Informationen
> aus dem unverschobenen 3-Eck nun die Koordinaten des
> fehlenden 3. Punktes ermitteln.
wenn´s nicht klappt, melden!
Mfg Aram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Mi 28.05.2008 | | Autor: | crimac |
So... ich bins schon wieder. erstmal wieder herzlichen Dank, Aram.
Ich habe mir da über Nacht noch mal Gedanken drüber gemacht. Ich habe das Gefühl, gerade mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren ein wenig mit Kanonen auf Spatzen zu schiessen. Ich möchte mich vor allem davor drücken, weil ich das nachher auch noch programmieren muss *g*
Meine Idee lautet nun, folgendermassen vorzugehen:
1) Am gegebenen 3-Eck die Winkel und Seitenlängen zu berechnen
2) Am Verschobenen 3-Eck aus der Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] die Steigung (und damit ja den Winkel zur X-Achse) berechnen
3) Aus der Steigung und den an die Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] anliegenden Winkeln die Winkel zur X-Achse der abgehenden Geraden berechnen.
4) Über Sinus und Cosinus des Winkels den X-Achsenabschnitt und Y-Achsenabschnitt errechnen.
5) Über die Koordinaten freuen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Mi 28.05.2008 | | Autor: | aram |
Wie heißt es so schön: Viele Wege führen nach Rom.
Letztlich ist es nur wichtig, dass du deine gesuchten Koordinaten hast.
So, ich muss jetzt los, hoffe aber, dass wenn ich wieder da bin du schon das Ergebnis hast.
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mi 28.05.2008 | | Autor: | LazaruZ |
hallo crimac,
ich hätte eine da vielleicht noch einen anderen vorschlag: du schreibst, dass sich die bewegung des dreiecks aus einer translation und rotation ergibt. es gibt da noch die möglichkeit, diese beiden bewegungen in eine einzige rotation "zu übersetzen", indem du den momentanpol bestimmst (kurzform: verbinde punkt A1 mit A2 und B1 mit B2 mit einer geraden. konstruiere auf die jeweilige gerade eine seitenhalbierende senkrechte und der schnittpunkt der beiden senkrechten ist der momentanpol).
ich hatte das mal für die berechnung von kurbelgetrieben gelernt und das ist deinem fall ja nicht unähnlich. wenn du es anschließend sowieso programmieren willst, ist das wahrscheinlich auch die schnellste metode
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> Ich habe das Gefühl, gerade mit dem Gauß'schen
> Eliminationsverfahren ein wenig mit Kanonen auf Spatzen zu
> schiessen. Ich möchte mich vor allem davor drücken, weil
> ich das nachher auch noch programmieren muss *g*
> Meine Idee lautet nun, folgendermassen vorzugehen:
> 1) Am gegebenen 3-Eck die Winkel und Seitenlängen zu
> berechnen
> 2) Am Verschobenen 3-Eck aus der Strecke
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] die Steigung (und damit ja den Winkel
> zur X-Achse) berechnen
> 3) Aus der Steigung und den an die Strecke
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] anliegenden Winkeln die Winkel zur
> X-Achse der abgehenden Geraden berechnen.
> 4) Über Sinus und Cosinus des Winkels den
> X-Achsenabschnitt und Y-Achsenabschnitt errechnen.
> 5) Über die Koordinaten freuen ;)
Sorry dass ich mich auch noch einmische.
Natürlich gibt es planimetrisch, trigonometrisch,
vektorgeometrisch viele Wege zur Lösung
deiner Frage. Da bleibt die Qual der Wahl...
Wenn ich aber deine eigentliche Frage richtig
verstanden habe, möchte ich dir noch einen
anderen Lösungsweg anbieten.
Habe ich dein praktisches Problem richtig verstanden:
Du gehst von einer Urfigur in der x-y-Ebene aus und
unterwirfst sie einer Rotation und einer Translation.
Drei Parameter dieser Bewegung (Drehwinkel, x- und
y- Komponente der Verschiebung) werden durch Messung
bestimmt. Nun möchtest du einen (oder viele?) weitere(n)
Punkt(e) derselben Bewegung unterwerfen.
(habe ich richtig interpretiert?)
Dann gäbe es einen Weg, der zum programmieren bestimmt
viel einfacher ist, als was du schon versucht hast. Beschreibe
die Koordinaten der Eckpunkte durch komplexe Zahlen (es wäre
auch mit Vektoren möglich).
Die Abbildung f wird dann durch eine Gleichung der Form
[mm]f(z) = z * e^{i \alpha_{rot}} + z_{transl}[/mm]
beschrieben. [mm] \alpha_{rot} [/mm] ist der Drehwinkel, [mm] z_{transl} [/mm] der
Verschiebungsvektor.
Hinweis: [mm]e^{i \alpha} = cos(\alpha) + i * sin(\alpha)[/mm]
Weitere Punkte abzubilden bedeutet dann einfach, diese
Abbildungsgleichung anzuwenden.
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 28.05.2008 | | Autor: | crimac |
So, ich möchte euch erstmal allen danken!
Ich habe meine Idee erstmal auf dem Papier durchgerechnet und dann in der Software eingebaut.
Auf diesem Wege hab ich zwar viele Einzelschritte, aber das sind alles Funktionen, die sich leicht implementieren lassen.
Ansonsten hätte ich sicherlich noch einige eurer Möglichkeiten ausprobiert.
Eine weitere Idee sonst wäre noch eine Rotatiosnmatrix gewesen ;)
Hach... Die Mathematik. Ungeahnte Möglichkeiten.
Auf jeden Fall danke ich euch und hoffe, dass ich alles richtig gemacht habe.
Leider habe ich jetzt keine Ahnung, wie ich diese Frage als beantwortet markieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | LazaruZ |
falls du noch interesse hast ich habe mal 2 skizzen maßstäblich gezeichnet, wie das mit dem momentanpol (vorrechnen war mir zu aufwändig ;)) funktioniert. ich hätte sie auch angehangen, aber hier gibt es wohl keine option dafür....
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