3. Wurzel aus 7 nicht rational < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: (3. Wurzel aus 7) [mm] \not\in \IQ [/mm] |
Wäre für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo improvise
Ihr habt doch sicher irgendwelche Irrationalitätsbeweise mit Wurzeln gemacht. Oder der für [mm] \wurzel{2} [/mm] steht in jedem mathebuch. Überleg, wie du das übertragen kannst! DU willst doch denken lernen. Wenn du dich zu sehr aufs Vorkauen verlässt kriegst du den richtigen Biss nie.
Also anfangen, rumprobieren, wenns dann noch nicht klappt, erzähl, was du schon probiert hast. Vielleicht fehlt dann nur noch ein kleiner Schritt?!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Improvise |
meine antwort/frage steht im nächsten beitrag......hatte versehentlich doppelt alles hierreingestellt und weiß nicht wie man einen beitrag löscht
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Also ich habe angenommen 3.Wurzel aus 7 sei rational. Dann gilt:
p/q = (3.Wurzel aus 7) mit p,q sind ganze Zahlen (p/q sei fertig gekürzt)
Dann ist [mm] p^{3} [/mm] / [mm] q^{3} [/mm] = 7
[mm] \gdw p^{3} [/mm] = 7 * [mm] q^{3}
[/mm]
dann hab ich angenommen: q ist gerade, dann ist [mm] q^{3} [/mm] ist gerade, dann ist [mm] p^{3} [/mm] gerade, dann ist p gerade
das ist ein widerspruch zu p/q ist gekürzt (alles implikationen, die ich verwendet habe, kann ich auch beweisen)
dann hab ich angenommen : q ist ungerade, daraus folgt dann p ist ungerade. aber das liefert mir ja keinen widerspruch. da hake ich grade. ich versuche zu zeigen das p ein vielfaches von q ist, was dann ja auch ein widerspruch zu "p/q ist gekürzt" wäre, aber ich komme da nicht drauf. hast du ne hilfe parat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
im groben schaut es schon nicht schlecht aus..
> Dann ist [mm]p^{3}[/mm] / [mm]q^{3}[/mm] = 7
> [mm]\gdw p^{3}[/mm] = 7 * [mm]q^{3}[/mm]
>
> dann hab ich angenommen: q ist gerade, dann ...
die unterscheidung bringt imho hier nicht wirklich viel.
beim beweis, dass wurzel(2) irrational ist, benutzt man zwar auch das mit dem "gerade", aber das hat einen anderen grund.
also aus deiner letzten Gleichung weißt du, dass [mm] $p^3$ [/mm] durch 7 teilbar ist.
7 ist aber eine Primzahl und [mm] $p^3$ [/mm] kann nur genau dann durch 7 teilbar sein, wenn auch p schon durch 7 teilbar ist (wegen der primfaktorenzerlegung - man beachte den hinweis unten), also kann man schreiben : p=7*s, also in obige Gleichung eingesetzt und durch 7 geteilt ergibt:
[mm] $7*(7*s^3)=q^3$
[/mm]
kannst du jetzt folgern, dass auch q durch 7 teilbar ist ?!?
noch ein hinweis : angenommen man hat
[mm] $p^3=8*q^3$ [/mm] , also [mm] p^3 [/mm] ist durch 8 teilbar, aber das bedeutet NICHT, dass p auch schon durch 8 teilbar ist, denn es reicht aus, wenn p den primfaktor 2 enthält, also p=2*s , dann ist [mm] $p^3=8*s^3$ [/mm] also durch 8 teilbar, obwohl s ja auch 1 oder 2 oder 3 oder so sein kann, so dass p NICHT durch 8 teilbar ist - es ist also wichtig, dass man hier von primzahlen spricht !
viele Grüße
DaMenge
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ich muss also nur noch folgern, dass q durch 7 teilbar ist.
es gilt:
[mm] 7*(7*s^{3}) [/mm] = [mm] q^{3}
[/mm]
also: 14 * [mm] s^{3} [/mm] = [mm] q^{3}
[/mm]
also ist q durch 7 und 2 teilbar richtig? und damit hätte ich ja nen widerspruch.
wenn das so stimmt: wie beweist man das mit den primfaktoren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
> [mm]7*(7*s^{3})[/mm] = [mm]q^{3}[/mm]
> also: 14 * [mm]s^{3}[/mm] = [mm]q^{3}[/mm]
>
> also ist q durch 7 und 2 teilbar richtig? und damit hätte
> ich ja nen widerspruch.
naja 7*7=49 , aber wichtig ist ja, dass sowohl p als auch q durch 7 teilbar sind, was den Widerspruch zum vollständig gekürzt sein herstellt..
> wenn das so stimmt: wie beweist man das mit den
> primfaktoren?
ich denke, das kannst du vorraussetzen, denn eindeutigkeit der primfaktoren kann ein ziemlicher aufwand in der zahlentheorie sein.
(man benutzt das beim beweis von der irrationalität der wurzel(2) auch einfach so und primfaktorenzerlegung lernt man in der schule (ohne es zu beweisen))
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Improvise |
7*7=14, haha, ich bin schon dumm^^......ok, dann setze ich das dann einfach vorraus....ich danke dir
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