3Pkte bilden rechtw. Dreieck < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Timsge |
| Aufgabe | Man rechne komplex nach: Die Pkte [mm] z_1, z_2 [/mm] und [mm] z_3 [/mm] bilden ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel in [mm] z_2 [/mm] ) wenn Re( [mm] \bruch{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} [/mm] ) = 0
(entspricht Meyberg/Vachenauer HMII S.183, Nr. 7) |
Ich weiß leider nicht wie ich das genau beweisen soll. Mein Ansatz war folgender: Ist bei [mm] z_2 [/mm] der rechte Winkel, so sind die 2 Differenzen im Bruch, als Strecken betrachtet, die Katheten. Ist deren Realteil null, so strebt [mm] \bruch{Im}{Re} [/mm] des Terms gegen unendlich (bzw. minus unendlich, abhängig vom Imaginärteil), das Argument = Arctan( [mm] \bruch{Im}{Re} [/mm] ) somit gegen + / - [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] sprich 90°.
Mein Problem dabei ist, dass es für mich eigentlich sehr logisch ist, ich allerdings das, was zu beweißen ist (nämlich der rechte Winkel) schon in meiner Annahme drin habe und es somit kein stichhaltiger Beweiß ist. Liege ich da richtig und was gäbe es für Alternativen? Ist das Skalarprodukt eine Alternative? Ich hab es mir mal angeschaut, der Rechenaufwand wäre jedoch enorm.
Danke für eure Antworte,
Gruß Timo
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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> Man rechne komplex nach: Die Pkte [mm]z_1, z_2[/mm] und [mm]z_3[/mm] bilden
> ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel in [mm]z_2[/mm] ) wenn
> Re( [mm]\bruch{z_1 - z_2}{z_3 - z_2}[/mm] ) = 0
> (entspricht Meyberg/Vachenauer HMII S.183, Nr. 7)
> Ich weiß leider nicht wie ich das genau beweisen soll.
> Mein Ansatz war folgender: Ist bei [mm]z_2[/mm] der rechte Winkel,
> so sind die 2 Differenzen im Bruch, als Strecken
> betrachtet, die Katheten. Ist deren Realteil null, so
> strebt [mm]\bruch{Im}{Re}[/mm] des Terms gegen unendlich (bzw. minus
> unendlich, abhängig vom Imaginärteil), das Argument =
> Arctan( [mm]\bruch{Im}{Re}[/mm] ) somit gegen + / - [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm]
> sprich 90°.
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> Mein Problem dabei ist, dass es für mich eigentlich sehr
> logisch ist, ich allerdings das, was zu beweißen ist
> (nämlich der rechte Winkel) schon in meiner Annahme drin
> habe und es somit kein stichhaltiger Beweiß ist. Liege ich
> da richtig und was gäbe es für Alternativen? Ist das
> Skalarprodukt eine Alternative? Ich hab es mir mal
> angeschaut, der Rechenaufwand wäre jedoch enorm.
>
> Danke für eure Antworte,
> Gruß Timo
Hallo Timo,
der Schlüssel zur Lösung dieser Aufgabe liegt
in der Polardarstellung komplexer Zahlen. Ist
$\ u\ =\ [mm] r*e^{i\,\varphi}$ [/mm] und $\ v\ =\ [mm] s*e^{i\,\psi}$ [/mm] (mit [mm] s\not=0)
[/mm]
so ist [mm] $\frac{u}{v}\ [/mm] =\ [mm] \frac{r}{s}*e^{i\,(\varphi-\psi)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{r}{s}*(cos(\varphi-\psi)+i*sin(\varphi-\psi)$
[/mm]
Setze $\ [mm] u:=z_1 [/mm] - [mm] z_2$ [/mm] und $\ [mm] v:=z_3 [/mm] - [mm] z_2$
[/mm]
und schau, was die Konsequenzen sind. Mach
dir zuerst in einer Zeichnung die geometrische
Bedeutung von [mm] \varphi [/mm] , [mm] \psi [/mm] und [mm] (\varphi-\psi) [/mm] klar !
Nebenbei: "Beweis" und "beweisen" schreibt
man nur mit einfachem "s"
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 12.01.2010 | | Autor: | Timsge |
Hey,
Danke für deine schnelle Antwort.
Muss trotzdem nochmal nachfragen, ob das wirklcih so einfach ist: Wenn [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] = 90° = [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] dann hab ich stehen [mm] \bruch{u}{v} [/mm] = [mm] \bruch{r}{s} [/mm] * i, der realteil wäre also null. Ist das wirkclih schon alles was ich zeigen muss? Wäre ja eigentlich sehr simpel =)
Viele Grüße und Dankeschön
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> Hey,
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Muss trotzdem nochmal nachfragen, ob das wirklich so
> einfach ist: Wenn [mm]\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] = 90° = [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm]
(jetzt hatte ich vorher extra [mm] \varphi [/mm] und [mm] \psi [/mm] bemüht, um [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm]
allenfalls für die Bezeichnung der Innenwinkel des Drei-
ecks freizuhalten ...)
> dann hab ich stehen [mm]\bruch{u}{v}[/mm] = [mm]\bruch{r}{s}[/mm] * i, der
> realteil wäre also null. Ist das wirklich schon alles was
> ich zeigen muss? Wäre ja eigentlich sehr simpel =)
> Viele Grüße und Dankeschön
Zeigen solltest du wohl, dass das Dreieck genau dann
rechtwinklig ist, wenn jener Realteil gleich Null ist.
Erforderlich ist also auch der Beweis der Umkehrung.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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