3 Gleichungen, 5 Unbekannte < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Rudi1003 |
| Aufgabe | 2x1 + x2 + ax3 + x4 = 0
x1 + ax4 - ax5 = 1
2x2 + x3 + 2x5 = 2
a) Bestimme Lösungen für a=1
b) Für welche a [mm] \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem unlösbar
c) Gibt es ein a [mm] \in \IR [/mm] für welches das gleichungssystem eindeutig lösbar ist? |
Ich habe keine Ahnung mit welchem Ansatz ich da ran gehen soll. Meiner Meinung ist es nicht möglich, da ich 5 Unbekannte habe, aber nur drei Gleichungen.
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> 2x1 + x2 + ax3 + x4 = 0
> x1 + ax4 - ax5 = 1
> 2x2 + x3 + 2x5 = 2
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> a) Bestimme Lösungen für a=1
> b) Für welche a [mm]\in \IR[/mm] ist das Gleichungssystem unlösbar
> c) Gibt es ein a [mm]\in \IR[/mm] für welches das gleichungssystem
> eindeutig lösbar ist?
> Ich habe keine Ahnung mit welchem Ansatz ich da ran gehen
> soll.
Bringe das System auf Stufenform (Gauss-Verfahren). Also etwa auf die Form:
[mm]\begin{array}{rcrcrcrcrcl|}
x_1 & & & & & +&a x_4 &-& ax_5 &=& 1\\
& &x_2 &+& a x_3 &+& (1-2a)x_4 &+& 2ax_5 &=& -2\\
& & & &(1-2a)x_3 &-& 2(1-2a)x_4 &+& 2(1-2a)x_5 &=& 6\\\cline{1-11}
\end{array}[/mm]
Betrachte dann vor allem den Einfluss des Wertes von $a$ auf die letzte Gleichung der Stufenform (keine Lösung oder unendlich viele Lösungen).
> Meiner Meinung ist es nicht möglich, da ich 5
> Unbekannte habe, aber nur drei Gleichungen.
In diesem Falle hat das System einfach unendlich viele Lösungen, bei denen 2 (überzählige) der 5 Variablen als "freie Parameter" für die Lösungsmenge verwendet werden.
Bem: Das System hat für [mm] $a=\frac{1}{2}$ [/mm] keine Lösung (weil in diesem Falle die letzte Gleichung der Stufenform auf der linken Seite $0$ und auf der rechten $=6$ wird) und für [mm] $a\neq\frac{1}{2}$ [/mm] unendlich viele Lösungen (in diesem Falle kann man die Werte von zwei der drei Variablen, z.B. von [mm] $x_4$ [/mm] und [mm] $x_5$, [/mm] in der letzten Gleichung der Stufenform willkürlich wählen und daraus, d.h. in Abhängigkeit von dieser Wahl, eine Lösung des Gesamtsystems bestimmen). Eine eindeutige Lösung hat das System also nie.
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