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Hallo, ich habe hier 3 Aufgaben mit denen ich ein Problem habe, den Ansatz habe ich aber kurz vor dem Ende komme ich leider nicht weiter, ich hoffe Ihr könnt mir helfen.| Aufgabe | Aufgabe 1 [mm] n\in \IN_{0}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (3k+1) = [mm] \bruch{(n+1)(3n+2)}{2} [/mm]
Aufgabe 2 [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1} [/mm] * [mm] j^2 [/mm] = n(2n-1)
Aufgabe 3 für n [mm] \ge [/mm] 2
[mm] \produkt_{k=1}^{n-1} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
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A1
IA ist klar und führe hier nicht aus
IS n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (3k+1) = [mm] \bruch{(n+2)(3n+3)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(3n^2 + 3n + 6n +6)}{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n} [/mm] (3k+1) + (3n+2) = [mm] \bruch{(n+1)(3n+2)}{2} [/mm] + (3n+2) = [mm] \bruch{(n+1)(3n+2) + 6n + 4}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3n^2 + 5n + 6n +6}{2}
[/mm]
Hie sieht man dass die Ergebnisse nicht übereinstimmen, ich bin mir aber nicht sicher ob ich einen Fehler gemacht habe, oder ob die Aufgabe als ungültig bewiesen wurde.
A2
IA .......(wahr)
IS n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{j=1}^{2n} (-1)^{j-1} *j^2 [/mm] = (n+1)(2n+1) = [mm] 2n^2 [/mm] + 3n + 1
[mm] =\summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1} [/mm] * [mm] j^2 [/mm] + [mm] (-1)^n*(n+1)^2 [/mm] = n(2n-1) + [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] =2n^2 [/mm] - n + [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1)
da komme ich leider nicht weiter....
A3
IA ........(wahr)
IS n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^n * (n + 1)}{n! * (n + 1)}
[/mm]
[mm] =\produkt_{k=1}^{n-1} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] * (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \bruch{n^2 * (1 + \bruch{1}{n})^n }{n!} [/mm]
leider habe ich auch hier keine Ahnung wie man dort weiterkommt...
Ich hoffe jemand kann helfen und hat auch ein wenig Spaß am Rechnen!!
Gruß
Aldiimwald
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Hallo!
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}[/mm] (3k+1) = [mm]\bruch{(n+2)(3n+3)}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(3n^2 + 3n + 6n +6)}{2}[/mm]
Du berechnest hier falsch. Bedenke, dass jedes n durch n+1 ersetzt wird:
[mm]\summe_{k=0}^{n+1}(3k+1) = \bruch{((n+1)+1)(\red{3*(n+1)}+3)}{2} = \bruch{(n+2)(3n+5)}{2} [/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}[/mm] (3k+1) + (3n+2) = [mm]\bruch{(n+1)(3n+2)}{2} + (3n+2)[/mm]
Dasselbe Problem: Der letzte Summand der Summe lautet nicht (3n+2), sondern
(3*(n+1)+1) = 3n+4
So und wenn du jetzt deine Rechnungen durchführst, wirst du sehen, dass die Ergebnisse übereinstimmen. Ich finde es aber schöner, wenn man anfängt mit
[mm]\summe_{k=0}^{n+1}(3k+1) = \summe_{k=0}^{n}(3k+1) + (3n+4) = ... = \bruch{((n+1)+1)(3(n+1)+2)}{2}[/mm]
Weil dann hast du wirklich richtig gezeigt, was du zeigen solltest.
> [mm]\summe_{j=1}^{\red{2n}} (-1)^{j-1} *j^2[/mm] = (n+1)(2n+1) = [mm]2n^2[/mm] + 3n +1
Hier wieder aufpassen: Hat zwar bei diesem Teil noch keine Auswirkungen, ...
aber eigentlich müsste es
[mm]\summe_{j=1}^{\red{2n+1}} (-1)^{j-1} *j^2[/mm]
heißen.
> [mm]=\summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1}[/mm] * [mm]j^2[/mm] + [mm](-1)^n*(n+1)^2[/mm] =
> n(2n-1) + [mm](-1)^n[/mm] * [mm](n+1)^2[/mm]
>
> [mm]=2n^2[/mm] - n + [mm](-1)^n[/mm] * [mm](n^2[/mm] + 2n + 1)
>
> da komme ich leider nicht weiter....
Ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht was du hier rechnest. Beginne wieder so:
[mm]\summe_{j=1}^{2*(n+1) - 1} (-1)^{j-1} *j^2[/mm]
[mm]= \summe_{j=1}^{2n+1} (-1)^{j-1} *j^2[/mm]
Und jetzt aufpassen! Wenn ich wieder in eine Summe mit oberem Index 2n-1 umwandle, entstehen zwei Summanden, nämlich mit Laufindex 2n und 2n+1 !
[mm]= \left(\summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1} *j^2\right) + (-1)^{2n-1}*(2n)^{2} + (-1)^{(2n+1)-1}*(2n+1)^{2}[/mm]
Nun probier du weiter! Wende auf die Summe die IV an, und überlege was
[mm] (-1)^{2n} [/mm] - in Worten: [mm] (-1)^{GeradeZahl}
[/mm]
und
[mm] (-1)^{2n+1} [/mm] - in Worten: [mm] (-1)^{UngeradeZahl}
[/mm]
ist! Dann müsstest du zur Behauptung kommen.
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{k})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^n * (n + 1)}{n! * (n + 1)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier kannst du also noch kürzen:
[mm]\bruch{(n+1)^n * (n + 1)}{n! * (n + 1)} = \bruch{(n+1)^{n}}{n!}[/mm]
> [mm]=\produkt_{k=1}^{n-1}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{k})^k[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm] * (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] =
> [mm]\bruch{\red{n^2} * (1 + \bruch{1}{n})^n }{n!}[/mm]
Das rote müsste weiterhin [mm] n^{n} [/mm] sein... Dann kannst du schreiben:
[mm]\bruch{n^{n} * (1 + \bruch{1}{n})^n }{n!}[/mm]
(Potenzgesetze...)
[mm] = \bruch{(n*(1 + \bruch{1}{n}))^n}{n!}[/mm]
[mm] = \bruch{(n + 1)^n}{n!}[/mm]
Und das ist genau dasselbe wie oben 
Auch hier: Schöner ist es, wenn du schreibst:
[mm]\produkt_{k=1}^{(n+1) - 1} \left(1 + \bruch{1}{k}\right)^k[/mm]
[mm]= \produkt_{k=1}^{n} \left(1 + \bruch{1}{k}\right)^k[/mm]
[mm]= \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n\right)*\left(\produkt_{k=1}^{n} \left(1 + \bruch{1}{k}\right)^k\right)[/mm]
Mit IV
[mm]= \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n\right)*\bruch{n^{n}}{n!}[/mm]
[mm]= \bruch{(n+1)^{n}}{n!}[/mm]
Den Bruch mit (n+1) erweitern:
[mm]= \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
Stefan
PS.: Es reicht, wenn du eine [ mm ] - Umgebung für eine ganze Formel benutzt, du musst nicht nur dort, wo du Formeln anwendest, die [ mm ]-Umgebung benutzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Di 04.11.2008 | | Autor: | Aldiimwald |
Wow.....so schnell eine so ausführliche Antwort!!!
DANKE!
aber für heute ist es mir zu spät alles durchzurechnen auch wenn mir deine Erklärungen gut verständlich sind....irgendwann mus man sich ja auch mal Ruhe gönnen.
Gruß
PS: was ist denn überhaupt diese [ mm ] umgebung? 
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Hallo!
Die [ mm ] - Umgebung ist das, wo du Formeln reinpackst. Du hast zum Beispiel etwa sowas geschrieben (nicht genau, aber den Sinn triffts):
1 + x + [ mm ] x ^ 2 [ / mm ]
Du musst da nicht nur das [mm] x^{2} [/mm] in die Formeln setzen, du kannst auch
[ mm ]1 + x + x ^ 2 [ / mm ]
schreiben, meine ich
Stefan.
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ok ich habe die aufgaben gelöst nur bei der 2. habe ich noch ein kleines Problem!
$ = [mm] \left(\summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1} \cdot{}j^2\right) [/mm] + [mm] (-1)^{2n}\cdot{}(2n)^{2} [/mm] + [mm] (-1)^{2n+1}\cdot{}(2n+1)^{2} [/mm] $
ok bis hier verstanden
aber:
[mm] = n(2n-1) + (2n)^2 - (2n+1)^2 [/mm]
[mm] = 2n^2 - n + 4n^2 - (4n^2 + 4n +1) [/mm]
[mm] = 2n^2 - 5n -1 [/mm]
nach dem IS [mm] n\to n+1 [/mm] ergibt der Teil rechs vom = jedoch [mm] 2n^2 + 3n +1 [/mm]
sieht aus wie ein simpler Vorzeichenfehler aber wo?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldiimwald!
Du hast bei den [mm] $(-1)^{...}$-Termen [/mm] genau aufpassen mit den $n_$-Werten:
$$... \ = [mm] \left(\summe_{j=1}^{2n-1} (-1)^{j-1} \cdot{}j^2\right) [/mm] + \ [mm] \underbrace{(-1)^{2n-1}\cdot{}(2n)^{2}}_{j \ = \ 2n} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{(-1)^{2n+1-1}\cdot{}(2n+1)^{2}}_{j = \ 2n+1} [/mm] \ = \ [mm] n*(2n-1)-4n^2+4n^2+4n+1 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Aldiimwald |
Hallo Loddar!
Vielen Dank.
Habe hier [mm] (-1)^{j -1} [/mm] die -1 im Exponenten übersehen, jetzt ist mir alles klar!
Gruß
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Hallo!
War mein Fehler, habs zwar auf dem Blatt richtig gehabt, aber falsch abgetippt...
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldiimwald!
Bitte stelle in Zukunft 3 unabhängige Aufgaben auch in unterschiedlichen Threads hier ein.
Gruß
Loddar
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