3 kleine Fragen. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Sa 22.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
Hey, ich hätte da mal 3 kleine Fragen.
Erste Frage:
Wenn ich ein Integral habe, also z.B. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx},
[/mm]
und dann eine Substitution mache mit $g(x):=y:=f(x)$
wie sehen dann die Integralgrenzen aus ???
So (i) [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{y *dy} [/mm] oder
so (ii) [mm] \integral_{a}^{b}{y *dy} [/mm] ???????
(Unabh. davon ob die Substitution hier stimmt, oder nicht ! Es geht mir hierbei nur um die Grenzen).
Zweite Frage:
Ist [mm] $\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] = ln(x-1)$ ???
Dritte Frage:
Gilt das folgende ??? :
$ln(b) - ln(a) = [mm] ln(\bruch{b}{a})$ [/mm] ???
Wie wäre es dann mit
[mm] $\alpha*ln(b) [/mm] - ln(a)$ ???, wobei [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Janyary |
also zu 1.
die integralgrenzen haengen schon sehr mit deiner substitution zusammen. also ich machs mal an nem bsp. :
sei [mm] f(x)=\bruch{x}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
wuerdest du also substituieren mit [mm] t=1+x^{2}
[/mm]
du kannst dir das so vorstellen, dass du [mm] \integral_{x=0}^{x=a}{f(x) dx} [/mm] vor der substitution hast.
jetzt wuerdest du deine grenzen einfach in die substitution einsetzen, also fuer die untere [mm] t=1+0^{2}=1 [/mm] und fuer die obere [mm] t=1+a^{2}
[/mm]
ergibt dann: [mm] \integral_{1}^{1+a^{2}}{f(t) dt}
[/mm]
zu 2.
ist an sich richtig, nur muss das ganze in betraegen stehen, also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}=ln|x-1|
[/mm]
und zu 3.
[mm] ln(b)-ln(a)=ln(\bruch{b}{a}) [/mm] ist korrekt.
[mm] \alpha*ln(b)=ln(b^{ \alpha})
[/mm]
also ist [mm] \alpha*ln(b)-ln(a)=ln(b^{ \alpha})-ln(a)=ln(\bruch{b^{\alpha}}{a})
[/mm]
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