3^n > n³ < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Die Aufgabe lautet einfach:
[mm] 3^{n} [/mm] >n³ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 4.
Beweisen sie das mittels vollständiger Induktion. Beweisen sie dazu vorher ohne Induktion die Wahrheit der Aussage [mm] 3>(\bruch{n+1}{n})³.
[/mm]
Es scheitert bei mir schon am Beweis der Bruchgleichung und im Induktionsschritt ab der Zeile
[mm] 3^{n+1}>(n+1)³. [/mm]
Ausmultiplizieren und Umformen führt irgendwie zu nichts... Nicht mal zu der Bruchaussage, die ich ja eigentlich irgendwo mit verwenden sollte bzw brauchen sollte.
Kann mir jemand nen Tip geben, wie ich die Wahrheit der Bruchaussage ohne Induktion zeige und wie ich im Induktionsschritt weiterkomme????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] (1+1/n)^3 [/mm] ausrechnen!
2. Induktionsvors. mit 3 multiplizieren, danach auf der Rechten Seite die eben bewiesene Formel benutzen.
$ [mm] 3^{n+1}>(n+1)³. [/mm] $
ist die Behauptung, die du aus $ [mm] 3^{n}>(n)³$. [/mm] herleiten willst. das ist gar kein Schritt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Aber ich kann ja die Formel mit dem Bruch eben nicht beweisen. ich habe das ausmultipliziert und komme auf die Aussage -2n³+3n²+3n+1<0 für n [mm] \ge [/mm] 4.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aquilera!
Zum Beweis des Bruches:
[mm] $$\left(\bruch{n+1}{n}\right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^3 [/mm] \ = \ [mm] 1^3+3*1^2*\left(\bruch{1}{n}\right)^1+3*1^1*\left(\bruch{1}{n}\right)^2+\left(\bruch{1}{n}\right)^3 [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3} [/mm] \ = \ ...$$
Anschließend die Bruchterme abschätzen für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 4$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Abschätzen?
Ich muß das doch laut aufgabenstellung irgendwie beweisen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aquilera!
Das ist doch auch ein Beweis. Es gilt doch:
$$n \ [mm] \ge [/mm] \ 4 \ \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] n\in\IN$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Das ist schon klar, aber ich addiere ja drei Brüche zusammen und dann kann ich diese Abschätzung, die ich für jeden einzelnen gemacht habe, ja nicht auf die Summe dreier Brüche anwenden. Das abschätzen einer Summe von drei Brüchen erinnert mich ein bissl an das problem der harmonischen reihe.....
ich bin der meinung, daß das auch relativ straight zu beweisen geht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aquilera!
Zur harmonischen Reihe gibt es hier einen bedeutsamen Unterschied:
unsere betrachtete Summe ist endlich!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Es widerstrebt meinem Mathematischen Denken, drei einzelne Abschätzungen zu machen, diese zu einer summe zusamen zu fassen und dann zu sagen, das ist das ergebnis.... da kann ich doch auch gleich einfach die vier einsetzen und sagen das passt bzw mich nochmal dahin gehend zu äußern, daß es eine fallende zahlenfolge ist (wobei die zahlenfolgen noch gar nicht behandelt worden sind, es also auch ohne gehen muß)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas laeuft in deinem Kopf grade krumm ab.
ob ich sage 5/6<1 oder 1/6+2/3<1 ist doch egal.
du hast
\ [mm] 1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3} [/mm]
jetzt verwendest du: ein Bruch wird verkleinert, wenn man seinen Zaehler vergroessert. eine Summe aus pos Zahlen wird kleiner, wenn man die Summanden verkleinert.
also gilt fuer [mm] n\ge [/mm] 4
[mm] \bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3} <\bruch{3}{4}+\bruch{3}{16}+\bruch{1}{64} =\bruch{61}{64}<1
[/mm]
Du machst eine einzige Abschaetzung, in der allerdings 3 Summanden vorkommen. Wenns 100 waeren und die Summe wuerde ein ,< erfuellen waers noch immer voellig korrekt!
Bei allen Induktionsbeweisen mit n kommen Abschaetzungen vor.
bzw. Ungleichungen werden immer mit Abschaetzungen bewiesen!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
dann nehm ich das mal so hin....
gefallen tuts mir nicht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du erklaeren, was dir daran nicht gefaellt? Was fuer ne Sorte Abschaetzung gefaellt dir denn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
gar keine :)
aber ich probiere mich jetzt im schätzen und versuche mich nach der erldigung der fiesen mengeinklusionen mal in dem zweiten induktionsbeweis von [mm] 3^{n} [/mm] < n³.. (der erste war ja einfach)
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> Es widerstrebt meinem Mathematischen Denken, drei einzelne
> Abschätzungen zu machen, diese zu einer summe zusamen zu
> fassen und dann zu sagen, das ist das ergebnis....
Hallo,
das Ergebnis hast Du dann ja auch nicht, aber eine Abschätzung fürs Ergebnis, und wenn man's mit < oder > zu tun hat, geht's ja immer um Abschätzungen.
Wenn ich morgens Brötchen hole und beispielsweise 5normale Brötchen, 2 Rosinenbrötchen und 1 Kümmelbrötchen kaufe, schau ich ja auch nach, ob die Münzen in meiner Tasche reichen.
Ich könnte so rechnen:
1 normales Brötchen kostet weniger als 30 Cent, 1 Rosinenbrötchen weniger als 1 Euro und das Kümmelbrötchen weniger als 50 Cent.
Also muß ich weniger als (5*0.30 + 2*1,00 +1*0.50)Euro = 4 Euro bezahlen. Die 4.37 Euro in meiner Hosentasche reichen also.
Die Abschätzung
"1 normales Brötchen kostet weniger als 7Euro, 1 Rosinenbrötchen weniger als 5 Euro und das Kümmelbrötchen weniger als 100Euro, also muß ich weniger als
(35+10+100)Euro=145Euro zahlen"
wäre mathematisch genauso richtig - allerdings für meine morgendlichen Zwecke etwas grob und damit sinnlos.
Mit dem Abschätzen wirst Du Dich über kurz oder lang abfinden müssen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Also, ich habe geschätzt und nachdem ich diese Bruchungleichung beweisgeschätzt habe war ich erstaunt über den geringen Widerstand bei der Induktion.
Danke an alle.... und ich werde "schätzen" in meine mathematische Werkzeugkiste mit aufnehmen ;)
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