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| Aufgabe | -5 2 1
2 -4 2
1 2 -3
bestimme die definitheit dieser matrix |
Hallo,
hierfür muss ich doch erstmal das charakteristische Polynom ausrechnen.
Dafür bekomme ich
[mm] x^3+14x^2+50x+16
[/mm]
Ein eigenwert ist -8; durch polynomdevision bekomme ich [mm] x^2+6x+2,
[/mm]
dieser Term hat aber keine reellen Nullstellen.
Aber eine Matrix kann doch nicht nur einen eigenwert haben oder?
KAnn mir jm helfen?
Danke
weihnachtsman
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> -5 2 1
> 2 -4 2
> 1 2 -3
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> bestimme die definitheit dieser matrix
> Hallo,
>
> hierfür muss ich doch erstmal das charakteristische Polynom
> ausrechnen.
> Dafür bekomme ich
> [mm]x^3+14x^2+50x+16[/mm]
Hallo,
Du hast Dich beim charakteristischen Polynom verrechnet.
>
> Ein eigenwert ist -8; durch polynomdevision bekomme ich
> [mm]x^2+6x+2,[/mm]
> dieser Term hat aber keine reellen Nullstellen.
>
> Aber eine Matrix kann doch nicht nur einen eigenwert haben
> oder?
Prinzipiell geht das schon, wenn Du Matrizen über [mm] \IR [/mm] betrachtest, bloß hier hast Du eine symmetrische 3x3-Matrix vorliegen, welche tatsächlich 3 reelle (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen haben muß.
(Falls Ihr auch das Hauptminorenkriterium zur Verfügung habt: ich finde das hier bequemer.)
Gruß v. Angela
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hallo, das chark. Polynom ist
[mm] x^3+12x^2+38x+16
[/mm]
das hat keine Nullstellen... jedenfalls keine rellen...
Hä?komisch. meintest du nicht, dass bei symm. MAtrizen relle nullstellen rauskommen müssen?
lg
weihnachtsman
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> hallo, das chark. Polynom ist
>
> [mm]x^3+12x^2+38x+16[/mm]
Hallo,
ja, so ist es richtig.
>
> das hat keine Nullstellen... jedenfalls keine rellen...
>
> Hä?komisch. meintest du nicht, dass bei symm. MAtrizen
> relle nullstellen rauskommen müssen?
Ja.
Wie kommst Du darauf, daß das Polynom keine reellen Nullstellen hat?
Hast Du's mal gezeichnet? Es hat sehr wohl reelle Nullstellen. 3 Stück.
Ein reelles Polynom dritten Grades völlig ohne reelle Nullstelle gibt's ja auch gar nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo,
oh man ich meine auch reell, ich verwechsel immer reell mit den ganzen zahlen...
:D
lg weihnachtsman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 19.05.2008 | | Autor: | batjka |
hallo
aber die Eigenwerte dieser Matrix zu bestimmen ist nicht einfach. Es kommen gewaltige Kommazahlen raus. Ich habe das mit [mm] x^T*A*x
[mm] x^T*A*x=\underbrace{-5a^2}_{<0}+4ab+2ac\underbrace{-4b^2}_{<0}+4bc\underbrace{-3c^2}_{<0}<0
[/mm]
wie macht man jetzt weiter
mfg
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> aber die Eigenwerte dieser Matrix zu bestimmen ist nicht
> einfach.
Hallo,
im Grunde interessieren die genauen Eigenwerte ja nicht, sondern nur, ob sie >, < 0der =0 sind.
Im vorliegenden Fall bekommt man das ganz gut heraus, indem man die Ableitung betrachtet, sie ist rechts von 0 immer > 0, und der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle 0 ist 38, also müssen die Nullstellen allesamt negativ sein.
Oder man nimmt das bereits erwähnte Hauptminorenkriterium.
Es kommen gewaltige Kommazahlen raus. Ich habe das
> mit [mm]x^T*A*x
> aber nicht weiter:
>
> [mm]x^T*A*x=\underbrace{-5a^2}_{<0}+4ab+2ac\underbrace{-4b^2}_{<0}+4bc\underbrace{-3c^2}_{<0}<0[/mm]
>
> wie macht man jetzt weiter
Ich würde versuchen, auf so etwas hinzusteuern:
=-... - [mm] (...a+...b)^2 [/mm] - [mm] (...a+...c)^2 [/mm] - [mm] (...b+...c)^2,
[/mm]
was allerdings im Vergleich zu den anderen Möglichkeiten mühsam ist.
Gruß v. Angela
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