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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - 3xMindestens 3 Treffer
3xMindestens 3 Treffer < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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3xMindestens 3 Treffer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 So 21.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Es werden in einer Massenproduktion Teile hergestellt. Diese Teile sind erfahrungsgemäßig zu 4% defekt.

Wie viele Teile muss man der Produktion mindestens entnehmen, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens drei fehlerfreie Teile finden möchte?

Moin Moin,

hier frage ich mich, ob es einen einfachen Lösungsweg gibt???

Also ich definiere:  

X ist die Anzahl der fehlerfreien Teile in der Stichprobe.

p = 0,96;  q = 0,04;  n ist gesucht.


P(X [mm] \ge [/mm] 3) [mm] \ge [/mm] 0,95


1 - P(X < 3) [mm] \ge [/mm] 0,95

1 - P(X [mm] \le [/mm] 2) [mm] \ge [/mm] 0,95

P(X [mm] \le [/mm] 2) [mm] \le [/mm] 0,05

Soweit, sollte es stimmen...

[mm] \vektor{n \\ 0}*0,96^0*0,04^n [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}*0,96^1*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05

[mm] 0,04^n +n*0,96*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(n-2)!*2!}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05

[mm] 0,04^n +n*0,96*0,04^{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}*0,96^2*0,04^{n-2} \le [/mm] 0,05

Nun könnte ich noch [mm] 0,04^{n-2} [/mm] ausklammern und ein bisschen zusammenfassen

[mm] 0,04^{n-2}*[0,04^2+ [/mm] n*0,96*0,04 [mm] +n*(n-1)*0,96^2] \le [/mm] 0,05

[mm] 0,04^{n-2}*[0,0016 [/mm]  + 0,0384*n [mm] +(n^2-n)*0,9216] \le [/mm] 0,05

[mm] 0,04^{n-2}*[0,0016 [/mm]  -0,88324*n [mm] +0,9216*n^2] \le [/mm] 0,05


Wenn das soweit richtig ist, wie geht es dann weiter?
Muss ich da probieren oder gibt es ein einfaches Verfahren? Oder kann ich bereits vorher die Lösung einfacher ermitteln?


Danke & Gruß!

        
Bezug
3xMindestens 3 Treffer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 So 21.10.2018
Autor: abakus

Nach "Soweit sollte es stimmen" hast du in der Formel jeweils die Werte 0,04 und 0,96 vertauscht.

Aber egal, die Gleichung ist sowieso nur mit Näherungsverfahren bzw. elektronischen Hilfsmitteln zu lösen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.96%5En%2Bn*0.04*0.96%5E(n-1)%2B(n*n-n)%2F2*0.04%5E2*0.96%5E(n-2)%3D0.05

Du brauchst 156 Versuche.

Bezug
                
Bezug
3xMindestens 3 Treffer: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:16 So 21.10.2018
Autor: hase-hh


> Nach "Soweit sollte es stimmen" hast du in der Formel
> jeweils die Werte 0,04 und 0,96 vertauscht.
>  
> Aber egal, die Gleichung ist sowieso nur mit
> Näherungsverfahren bzw. elektronischen Hilfsmitteln zu
> lösen.
>  
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.96%5En%2Bn*0.04*0.96%5E(n-1)%2B(n*n-n)%2F2*0.04%5E2*0.96%5E(n-2)%3D0.05
>  
> Du brauchst 156 Versuche.

Ok, aber wo soll ich die Wahrscheinlichkeiten vertauscht haben???

Trefferwahrscheinlichkeit (fehlerfreie Teile) p=0,96  und q = 0,04 (fehlerhafte Teile) ... das habe ich nicht vertauscht...



Ich erhalte durch Probieren:

Bei mindestens 3 Treffern muss n [mm] \ge [/mm] 3 sein.


n = 3     P = 22,96 %

n = 4     P = 1, 79 %

n = 5     P = 0,12 %

Also müsste n mindestens 4 sein.

Bezug
                        
Bezug
3xMindestens 3 Treffer: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 23.10.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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