4 Asse aus 32 Karten < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig angeordneten Stapel der 32 Skatkarten die vier Asse unmittelbar aufeinanderfolgen, wobei die Reihenfolge der vier Asse beliebig sein kann? |
Meine Idee:
[mm] \Rightarrow [/mm] 32 Skatkarten einzelne mögliche Ereignisse
N=32!
[mm] \Rightarrow [/mm] 4 nacheinanderfolgende Asse
29 mögliche Stellen: 1 2 3 4 ; 2 3 4 5 ; ... ; 29 30 31 32
K=29!
Anordnung der Asse beliebig [mm] \to [/mm] 4 mögliche Positionen
k=4!
[mm] \Rightarrow [/mm] jedes Ass an einer der 29 möglichen Stellen (günstige Ereignisse)
K*k = 29!*4*
[mm] \Rightarrow \bruch{guenstige Ereignisse}{moegliche Ereignisse}
[/mm]
[mm] \bruch{29!*4!}{32!} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3*4}{30*31*32} [/mm] = [mm] \bruch{24}{29760} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1240} [/mm] = 0,0008
[mm] \Rightarrow [/mm] 0,08%
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig angeordneten Stapel der 32 Skatkarten die vier Asse unmittelbar aufeinanderfolgen, wobei die Reihenfolge der vier Asse beliebig sein kann, liegt bei 0,08%.
Ist dies so richtig oder wo liegt mein Fehler?
Danke im Voraus für eure Hilfe!
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> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem
> zufällig angeordneten Stapel der 32 Skatkarten die vier
> Asse unmittelbar aufeinanderfolgen, wobei die Reihenfolge
> der vier Asse beliebig sein kann?
> Meine Idee:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 32 Skatkarten einzelne mögliche Ereignisse
>
> N=32!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4 nacheinanderfolgende Asse
>
> 29 mögliche Stellen: 1 2 3 4 ; 2 3 4 5 ; ... ; 29 30 31
> 32
> K=29!
>
> Anordnung der Asse beliebig [mm]\to[/mm] 4 mögliche Positionen
> k=4!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] jedes Ass an einer der 29 möglichen Stellen
> (günstige Ereignisse)
> K*k = 29!*4*
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{guenstige Ereignisse}{moegliche Ereignisse}[/mm]
>
> [mm]\bruch{29!*4!}{32!}[/mm] = [mm]\bruch{1*2*3*4}{30*31*32}[/mm] =
> [mm]\bruch{24}{29760}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1240}[/mm] = 0,0008
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0,08%
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig
> angeordneten Stapel der 32 Skatkarten die vier Asse
> unmittelbar aufeinanderfolgen, wobei die Reihenfolge der
> vier Asse beliebig sein kann, liegt bei 0,08%.
>
> Ist dies so richtig oder wo liegt mein Fehler?
> Danke im Voraus für eure Hilfe!
Hallo,
ich komme ebenfalls auf die Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{1240}
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo fireangel187!
Zwar hast du "zufällig" das richtige Endergebnis getroffen, aber deiner Begründung kann ich nicht folgen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 32 Skatkarten einzelne mögliche Ereignisse
>
> N=32!
Ja, es gibt 32! mögliche Anordnungen des Kartenstapels.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4 nacheinanderfolgende Asse
>
> 29 mögliche Stellen: 1 2 3 4 ; 2 3 4 5 ; ... ; 29 30 31
> 32
Ja.
> K=29!
Wieso nimmst du die Fakultät von 29?
> Anordnung der Asse beliebig [mm]\to[/mm] 4 mögliche Positionen
> k=4!
Ja.
> [mm]\Rightarrow[/mm] jedes Ass an einer der 29 möglichen Stellen
> (günstige Ereignisse)
> K*k = 29!*4*
Die Frage nach der Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die nach der Anzahl der Kartenanordnungen mit den 4 Assen hintereinander.
Um zu einer solchen Kartenanordnung zu kommen, kann man wie folgt vorgehen:
Zunächst wählt man eine der 29 Stellen für die 4 Asse aus. (29 Möglichkeiten)
Dann wählt man die Reihenfolge der 4 Asse aus (4! Möglichkeiten).
Dann wählt man die Reihenfolge der übrigen 28 Karten aus (28! Möglichkeiten).
So erhält man jede Kartenanordnung mit 4 Assen hintereinander auf genau eine Weise.
Also ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse $29*4!*28!=29!*4!$.
> [mm]\Rightarrow \bruch{guenstige Ereignisse}{moegliche Ereignisse}[/mm]
>
> [mm]\bruch{29!*4!}{32!}[/mm] = [mm]\bruch{1*2*3*4}{30*31*32}[/mm] =
> [mm]\bruch{24}{29760}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1240}[/mm] = 0,0008
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0,08%
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo fireangel187!
>
> Zwar hast du "zufällig" das richtige Endergebnis
> getroffen, aber deiner Begründung kann ich nicht folgen.
Hallo Tobias,
ich denke, dass man nicht sagen kann, fireangel habe
seine richtige Berechnung nur zufällig gefunden.
Ich habe zwar zuerst nur das numerische Ergebnis
geprüft, und zwar nach meiner Überlegung
$\ p\ =\ [mm] \frac{g}{m}\ [/mm] =\ [mm] \frac{29}{\pmat{32\\4}}$
[/mm]
wobei ich nur ungeordnete Vierer-Auswahlen betrachte.
Wenn man jedoch von der Menge aller 32! Permutationen
der Karten als "mögliche Fälle" ausgeht, ist die Berechnung
der Anzahl günstiger Fälle nach fireangel, also
$\ g\ =\ [mm] 29\,!*4\,!$
[/mm]
meiner Ansicht nach absolut in Ordnung. Es fragt sich
allenfalls nur, ob fireangel selbst auch noch in der
Lage ist, seine richtige und etwas kürzere Berech-
nungsweise auch sprachlich korrekt zu fundieren ...
(ich könnte es jedenfalls  )
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hi Al!
> > Zwar hast du "zufällig" das richtige Endergebnis
> > getroffen, aber deiner Begründung kann ich nicht folgen.
> ich denke, dass man nicht sagen kann, fireangel habe
> seine richtige Berechnung nur zufällig gefunden.
> Ich habe zwar zuerst nur das numerische Ergebnis
> geprüft, und zwar nach meiner Überlegung
>
> [mm]\ p\ =\ \frac{g}{m}\ =\ \frac{29}{\pmat{32\\4}}[/mm]
>
> wobei ich nur ungeordnete Vierer-Auswahlen betrachte.
>
> Wenn man jedoch von der Menge aller 32! Permutationen
> der Karten als "mögliche Fälle" ausgeht, ist die
> Berechnung
> der Anzahl günstiger Fälle nach fireangel, also
>
> [mm]\ g\ =\ 29\,!*4\,![/mm]
>
> meiner Ansicht nach absolut in Ordnung.
$g=29!*4!$ stimmt natürlich bei fireangels Betrachtungsweise; zu diesem Ergebnis bin ich in meiner Antwort auf anderem Wege ja auch gekommen.
Ich vermag jedoch nicht zu erkennen, wie fireangels Feststellung, dass es $29$ mögliche Plätze für die vier Asse gibt, die $29!$ erklären soll.
Falls du es erkennst, bitte ich dich um Aufklärung!
> Es fragt sich
> allenfalls nur, ob fireangel selbst auch noch in der
> Lage ist, seine richtige und etwas kürzere Berech-
> nungsweise auch sprachlich korrekt zu fundieren ...
> (ich könnte es jedenfalls )
Könntest du es dann bitte einmal für mich tun?
Viele Grüße
Tobias
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Guten Abend Tobias
> [mm]g=29!*4![/mm] stimmt natürlich bei fireangels
> Betrachtungsweise; zu diesem Ergebnis bin ich in meiner
> Antwort auf anderem Wege ja auch gekommen.
>
> Ich vermag jedoch nicht zu erkennen, wie fireangels
> Feststellung, dass es [mm]29[/mm] mögliche Plätze für die vier
> Asse gibt, die [mm]29![/mm] erklären soll.
>
> Falls du es erkennst, bitte ich dich um Aufklärung!
Naja, ob fireangel es wirklich so präzise gesehen hat,
weiß ich ja eben nicht genau ...
> > Es fragt sich
> > allenfalls nur, ob fireangel selbst auch noch in der
> > Lage ist, seine richtige und etwas kürzere Berech-
> > nungsweise auch sprachlich korrekt zu fundieren ...
> > (ich könnte es jedenfalls)
> Könntest du es dann bitte einmal für mich tun?
Ja, für Dich natürlich gerne ... 
Zuerst bringen wir die 4 Asse in eine der 4!=24
möglichen internen Anordnungen und binden sie
dann mittels eines Gummibands zu einem Paket.
Dann haben wir dieses Paket und 28 Einzelkarten,
also insgesamt 29 Objekte, welche wir auf 29!
Arten mischen bzw. zu einem Stapel formen
können. Am Ende wird nur noch das Gummiband
zerschnitten und herausgezogen ... voilà !
Schönen Abend !
Al
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Sorry, dass ich erst so spät antworte, aber war bis jetzt nicht nochmal online.
Naja ich sehe den 4er Stapel der Asse als einzelnes Objekt.
Dies kann man dann mit den restlichen 28 Karten kombinieren. Also an 29 verschiedene Stellen.
Da die restlichen 28 Karten aber auch an den unterschiedlichsten Stellen sein können, nehme ich 29*28!, was ja 29! ergibt.
Ist das jetzt verständlich, wie ich es meinte?
Grüße
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> Sorry, dass ich erst so spät antworte, aber war bis jetzt
> nicht nochmal online.
>
> Naja ich sehe den 4er Stapel der Asse als einzelnes
> Objekt.
> Dies kann man dann mit den restlichen 28 Karten
> kombinieren. Also an 29 verschiedene Stellen.
> Da die restlichen 28 Karten aber auch an den
> unterschiedlichsten Stellen sein können, nehme ich 29*28!,
> was ja 29! ergibt.
>
> Ist das jetzt verständlich, wie ich es meinte?
>
> Grüße
Schön, falls du das schon vor meiner Erläuterung
so gesehen hast. Geschrieben hattest du allerdings:
"jedes Ass an einer der 29 möglichen Stellen (günstige Ereignisse)"
Da war keine Rede von einem 4er-Stapel ...
LG , Al-Chw.
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Sorry, aber für mich war das klar, dass man die Asse als Block sieht.
Und dies habe ich bei der Darstellung meines Ergebnisses leider vergessen zu verdeutlichen.
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