4 Punkte, gleicher Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 10.12.2012 | | Autor: | buni |
| Aufgabe | | Die Punkte A=(0,0,0), B=(4,4,2), C=(-4,2,4) und D=(0,6,6) seien gegeben. |
Hallo Zusammen.
Die obere Aufgabe macht mir etwas Probleme.
Ich soll erst rausfinden welches spezielle Viereck die oben genannten Punkte beschreiben. Durch Zeichnen habe ich herausgefunden, dass es sich um ein Rechteck handelt.
Desweiteren sollte ich den Mittelpunk M dieses Objekts errechnen. Auch nicht weiter tragisch. Habe den Punkt M=(0,3,3).
Jetzt soll ich einen Punkt S bestimmen, der von jedem der vier Punkte A,B,C und D gleich weit entfernt ist und von M den Abstand 6 hat.
Kann es überhaupt einen Punkt in einem Rechteck geben, der gleich weit weg von allen Punkten ist? Jemand eine Idee?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Die Punkte A=(0,0,0), B=(4,4,2), C=(-4,2,4) und D=(0,6,6)
> seien gegeben.
> Hallo Zusammen.
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> Die obere Aufgabe macht mir etwas Probleme.
> Ich soll erst rausfinden welches spezielle Viereck die
> oben genannten Punkte beschreiben. Durch Zeichnen habe ich
> herausgefunden, dass es sich um ein Rechteck handelt.
>
> Desweiteren sollte ich den Mittelpunk M dieses Objekts
> errechnen. Auch nicht weiter tragisch. Habe den Punkt
> M=(0,3,3).
>
> Jetzt soll ich einen Punkt S bestimmen, der von jedem der
> vier Punkte A,B,C und D gleich weit entfernt ist und von M
> den Abstand 6 hat.
>
> Kann es überhaupt einen Punkt in einem Rechteck geben, der
> gleich weit weg von allen Punkten ist? Jemand eine Idee?
Ja, den Mittelpunkt, aber den hast du ja schon. Dein Denkfehler ist der, anzunehmen, dass der gesuchte Punkt in dem Rechteck liegt. Du befindest dich im dreidimensionalen, das darfst du hier nicht vergessen. Der gesuchte Punkt liegt also oberhalb bzw. unterhalb des Rechtecks (die Aufgabenstellung ist hier unvollständig, also gibt es zwei mögliche Lösungen).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 10.12.2012 | | Autor: | buni |
Danke dir für die schnelle Antwort. Stehe aber nach wie vor etwas auf dem Schlauch. Der gesuchte Punkt muss ja in der Mitte der 4 Punkte liegen da er ja sonst nicht gleich weit weg von allen ist?
Die andere Sache ist der Punkt M. Was heißt denn Abstand 6? Was gibt mir diese Zahl denn an?
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Diophant hatte dir bereits den Tipp des dreidimensionalen Raumes gegeben...
Innerhalb eines Rechtecks in einer einzigen Ebene kann nur der Mittelpunkt von allen Eckpunkten gleichweit entfernt sein -> diesen kennst du aber schon.
Dann stell dir halt mal eine quadratische Pyramide vor mit genau mittiger Spitze S. Wie ist der Abstand der Spitze S zu allen vier Eckpunkten der Grundseite? Aha....oho...
Da wir das jetzt hätten: Wie kommst du zu deinem gesuchten Punkt (nennen wir ihn S), wenn du M kennst sowie den Abstand, den S von M haben soll? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 10.12.2012 | | Autor: | buni |
Jau. Das Stichwort Pyramide hat es gut rübergebracht ;) Besten Dank!
Der Punkt S kann also 2 Werte haben. Je nachdem ob ich auf der X Achse 6 in die positive Richtung bzw. 6 in die negative Richtung gehe. Richtig?
Wenn ich jetzt meinen Punkt M (0,3,3) nehme, so wäre die Lösung:
S(0,9,3) und S(0,-3,3)
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Hallo,
> Jau. Das Stichwort Pyramide hat es gut rübergebracht ;)
> Besten Dank!
>
> Der Punkt S kann also 2 Werte haben.
Bis hierher hast du es verstanden.
> Je nachdem ob ich auf
> der X Achse 6 in die positive Richtung bzw. 6 in die
> negative Richtung gehe. Richtig?
Nein, das ist falsch.
Einschub:
Wie heißen die Koordiantenachsen bei euch? Vermutlich x, y und z, wobie z die senkrchte Achse ist? Dann meinst du die z-Achse, aber auch das ist falsch!
> Wenn ich jetzt meinen Punkt M (0,3,3) nehme, so wäre die
> Lösung:
>
> S(0,9,3) und S(0,-3,3)
Nein. Du musst vom Mittelpunkt M senkrecht zu der Ebene gehen, in der das Quadrat liegt. Dazu benötigst du einen Normalenvektor dieser Ebene, und zwar am besten einen normierten Normalenvektor, damit du durch Multiplikation mit 6 bzw. -6 den richtigen Abstand zu M sicherstellen kannst, indem du
[mm] \vec{s}=\vec{m}\pm\vec{n}_0
[/mm]
rechnest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 10.12.2012 | | Autor: | buni |
Also aufs Neue :)
Der Normalvektor wäre in diesem Fall [mm] \pmat{ -12\\ 24\\-24 }
[/mm]
Wenn ich ihn normieren würde, so käme
[mm] \vec{n0}= [/mm] 1/ [mm] \wurzel{-12^2+24^2(-24)^2}*\vec{n}
[/mm]
[mm] \vec{n0}=\pmat{ -1/3 \\ 2/3\\ -2/3 }
[/mm]
Jetzt hätte er die Länge 1. Da ich aber ausgehend vom Punkt M, 6 haben muss, multipliziere ich ihn wieder mit 6.
[mm] \vec{n0}=\pmat{ -2 \\ 4\\ -4 }
[/mm]
und addiere bzw. subtrahiere ihn jetzt von M.
Somit sollte die Lösung:
[mm] \pmat{ 2 \\ -1\\ 7} [/mm] und [mm] \pmat{ -2 \\ 7\\ -1}
[/mm]
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Hallo,
> Also aufs Neue :)
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> Der Normalvektor wäre in diesem Fall [mm]\pmat{ -12\\
24\\
-24 }[/mm]
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> Wenn ich ihn normieren würde, so käme
> [mm]\vec{n0}=[/mm] 1/ [mm]\wurzel{-12^2+24^2(-24)^2}*\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\vec{n0}=\pmat{ -1/3 \\
2/3\\
-2/3 }[/mm]
> Jetzt hätte er die
> Länge 1. Da ich aber ausgehend vom Punkt M, 6 haben muss,
> multipliziere ich ihn wieder mit 6.
>
> [mm]\vec{n0}=\pmat{ -2 \\
4\\
-4 }[/mm]
>
> und addiere bzw. subtrahiere ihn jetzt von M.
>
> Somit sollte die Lösung:
>
> [mm]\pmat{ 2 \\
-1\\
7}[/mm] und [mm]\pmat{ -2 \\
7\\
-1}[/mm]
>
Aufschreiben könnte man das ganze schon noch ein wenig 'geordneter' Aber es ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nachträglich übrigens noch
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
das hatte ich heute Mittag vergessen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 10.12.2012 | | Autor: | buni |
Vielen Dank. Auch, dass ihr euch die Zeit genommen habt mich auf den richtigen Weg zu bringen. Das mit dem Auschreiben stimmt natürlich.
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