6 aus 49: Differenz 1 < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Do 18.11.2010 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass unter 6 aus der Menge [mm] \{1, 2, ..., 49\} [/mm] gezogenen Lottozahlen zwei mit der Differenz 1 sind? |
Hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, dass es eine gute Idee ist, die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis E (Es gibt keine zwei Zahlen mit Differenz 1) zu bestimmen. Dann ist P=1-E.
Mit einem Computerprogramm habe ich nun alle Möglichkeiten ausgezählt und komme für E auf eine Wahrscheinlichkeit von [mm] \approx0,5048 [/mm] bzw. [mm] P\approx0,4951 [/mm] bestätigt durch ein Zufallsexperiment mit etwa 10000 zufälligen Lottoziehungen. Das Programm ist also korrekt.
Nur an der mathematischen Herleitung scheitere ich leider.
Man kann die Wahrscheinlichkeit X dafür berechnen, dass 2 bestimmte benachbarte Zahlen nicht in einer Ziehung liegen:
[mm] X=\frac{\vektor{2 \\ 2}\vektor{47 \\ 4}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] nach hypergeometrischer Verteilung. Aber irgendwie reicht es nicht, wenn ich das für alle 48 möglichen benachbarten Zahlen in einer Ziehung hochpotenziere, da z.B. die Ereignisse "1,2 in der Ziehung" und "2, 3 in der Ziehung" anscheinend nicht unabhängig sind.
Weiß jemand, wie ich das noch zu Ende führen kann?
Danke im Voraus,
mfG pyw
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Sa 20.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo pyw
Ich habe eine Rekursionsformel entwickelt und dann gesehen, dass das Resultat sehr einfach wird. Die Antwort ist
[mm] $\binom{44}{6}$ [/mm] fuer die Anzahl Ziehungen, bei denen keine zwei benachbarte Zahlen erscheinen.
Dann habe ich mich gefragt wie man das direkt einsehen kann. Ich interpretiere [mm] $\binom{44}6$ [/mm] als Anzahl Ziehungen 6 aus 44 (ohne Bedingung an die gezogenen Zahlen). Um zu zeigen, dass dies auch die Anzahl Ziehungen 6 aus 49 ist, bei denen keine zwei aufeinanderfolgende Zahlen dabei sind, muss ich eine bijektive Abbildung dieser Mengen angeben.
Sei also [mm] $a_1
Es ist (leicht?) einzusehen, dass die so definierte Abbildung der Menge injektiv und surjektiv, also bijektiv ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 So 21.11.2010 | | Autor: | pyw |
Hallo moudi,
danke, dass ist eine sehr elegante Lösung :)
mfg pyw
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