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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Waschi |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten A(3/2/-3), B(4/4/-1) und C(5/2/-1).
Wie muss die z-Koordinate des Punktes C verändert werden, damit das Dreieck rechtwinklig wird. |
Hallo,
diese Aufgabe haben wir schon mit mehreren Leuten gerechnet, alle unterschiedliche Ergebnisse und keiner weiß wie es wirklich geht.
Ich poste mal meinen Rechenweg. Wäre klasse, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen könnte.
erstmal die z-Koordinate um eine Variable ergänzen, weil ja nach der Veränderung gefragt ist:
C(5/2/z-1) (soweit waren wir uns alle auch einig)
Dann die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] bestimmen:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{1\\ -2\\z}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{2\\ 3\\2+z}
[/mm]
jetzt muss ja das Vektorprodukt Null werden. Beim ausmultiplizieren der Vektoren erhalte ich eine quadratische Funktion mit:
[mm] 0=z^{2}+2z-4
[/mm]
Kann man bis hierher meinen Fehler schon ersehen???
Viele Grüße
Waschi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo Waschi!
Es gibt ja drei Möglichkeiten, das Dreieck rechtwinklig zu machen. Wenn du dir das im 2dim aufzeichnest, siehst du, dass sich alle drei Winkel verändern, wenn du einen Punkt (entlang einer Gerade) verschiebst.
Du hast schon richtig angefangen: Beim Punkt C muss eine Variable rein. Aber bei den Vektoren für die Dreieckseiten hast du dich verrechnet...
[mm] $\overrightarrow{AB}=\vektor{1\\2\\2}$, $\overrightarrow{AC}=\vektor{2\\0\\z+2}$, $\overrightarrow{BC}=\vektor{1\\-2\\z}$
[/mm]
Ich weiß nicht, wie du bei [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ein z reinbekommen hast... Es ist doch [mm] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$.
[/mm]
Du hast recht, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist das Skalarprodukt Null. Es gibt jetzt drei Möglichkeiten:
[mm] $\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}=\vektor{1\\2\\2}*\vektor{2\\0\\z+2}=2z+6$
[/mm]
Also wird der Winkel bei A (also [mm] \alpha) [/mm] 90°, wenn z=-3 ist.
Genauso musst du das jetzt für [mm] $\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{BC}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}*\overrightarrow{BC}$ [/mm] machen... (Aber es muss nicht unbedingt immer eine Lösung geben...)
Das schaffst du bestimmt alleine.
Lieben Gruß,
Fulla
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