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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | [mm] y'=1-y^2 [/mm] mit y(0)=1 |
Hallo,
das geht soweit mit Trennung der Variablen:
[mm] \int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C
[/mm]
Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach y?
Ich kann ja y=1 nicht einfach einsetzen, weil dann [mm] \ln|1-y| [/mm] nicht definiert ist.
Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
Bitte um Hilfe.
Gruß,
pyw
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Hallo pyw,
> [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1
> Hallo,
>
> das geht soweit mit Trennung der Variablen:
>
> [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>
> Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> y?
Wende hier die Logarithmengesetze an.
>
> Ich kann ja y=1 nicht einfach einsetzen, weil dann [mm]\ln|1-y|[/mm]
> nicht definiert ist.
> Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
Nein, verrechnet hast Du Dich nicht.
>
> Bitte um Hilfe.
>
> Gruß,
> pyw
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für deine Antwort.
> > [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1
> > Hallo,
> >
> > das geht soweit mit Trennung der Variablen:
> >
> > [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>
> >
> > Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> > y?
>
>
> Wende hier die
> Logarithmengesetze an.
[mm] \ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}
[/mm]
Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen (Division durch 0)?
Oder wie meinst du das?
EDIT:Kann es sein, dass das AWP keine Lösung hat?
Gruß
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo pyw,
> Hallo,
> danke für deine Antwort.
> > > [mm]y'=1-y^2[/mm] mit y(0)=1
> > > Hallo,
> > >
> > > das geht soweit mit Trennung der Variablen:
> > >
> > > [mm]\int \frac{dy}{1-y^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}dy=\frac{1}{2}(\ln|1+y|-\ln|1-y|)=\int{ x dx}=x+C[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie könnte ich an dieser Stelle allgemein auflösen nach
> > > y?
> >
> >
> > Wende hier die
> > Logarithmengesetze
> an.
>
> [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]
Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit [mm]C_1\in\IR[/mm]
Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...
>
> Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> (Division durch 0)?
Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm] einsetzen, also [mm]y(0)=1[/mm] benutzen, um [mm]C_1[/mm] zu berechnen ...
Aber erstmal nach [mm]y[/mm] auflösen ...
> Oder wie meinst du das?
>
> EDIT:Kann es sein, dass das AWP keine Lösung hat?
Rechne es doch nach ...
>
> Gruß
> >
LG
schachuzipus
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Noch eine Bemerkung:
du hast ja im Laufe deiner Rechnung mit dem Log-gedöhns irgendwann [mm] $y\neq [/mm] 1$ gebraucht.
Schaue dir die Ausgangsgdl nochmal genau an:
[mm] $y'=1-y^2$
[/mm]
Das hat als konstante Lösung doch sicher [mm] $y\equiv [/mm] 1$, also [mm] $y:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 1$
Und die AB $y(0)=1$ erfüllt es auch ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> > [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]
>
> Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit
> [mm]C_1\in\IR[/mm]
Warum genau darf man hier die Betragsstriche weglassen (wenn man allgemein umstellt)?
Liegt das daran, dass man eigentlich eine Fallunterscheidung machen muss und dann für [mm] C_1 [/mm] einmal positive und einmal negative Werte aus [mm] \IR [/mm] bekommt und dann zusammensetzt?
>
> Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...
[mm] (1+y)=C_1*e^{2x}(1-y) \gdw y(1+C_1*e^{2x})=C_1*e^{2x}-1\gdw y=\frac{C_1*e^{2x}-1}{1+C_1*e^{2x}}
[/mm]
>
> >
> > Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> > (Division durch 0)?
>
> Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm]
Ja, das ist nun auch die Lösung. Klar, hatte hat den Sondernfall bei der Division durch [mm] (1-y^2) [/mm] nicht gedacht...
Gruß
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Hallo pyw,
> Hallo,
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> > > [mm]\ln|1+y|-\ln|1-y|=\ln\frac{|1+y|}{|1-y|}[/mm]
> >
> > Jo, also weiter: [mm]\frac{1+y}{1-y}=C_1\cdot{}e^{2x}[/mm] mit
> > [mm]C_1\in\IR[/mm]
> Warum genau darf man hier die Betragsstriche weglassen
> (wenn man allgemein umstellt)?
> Liegt das daran, dass man eigentlich eine
> Fallunterscheidung machen muss und dann für [mm]C_1[/mm] einmal
> positive und einmal negative Werte aus [mm]\IR[/mm] bekommt und dann
> zusammensetzt?
Genau, daran liegt das.
> >
> > Nun nach [mm]y[/mm] auflösen ...
> [mm](1+y)=C_1*e^{2x}(1-y) \gdw y(1+C_1*e^{2x})=C_1*e^{2x}-1\gdw y=\frac{C_1*e^{2x}-1}{1+C_1*e^{2x}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > >
> > > Aber dann kann ich doch genausowenig y=1 einsetzen
> > > (Division durch 0)?
> >
> > Naja, [mm]y\not\equiv 1[/mm] ist klar, aber du sollst ja auch [mm]x=0[/mm]
> Ja, das ist nun auch die Lösung. Klar, hatte hat den
> Sondernfall bei der Division durch [mm](1-y^2)[/mm] nicht
> gedacht...
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 28.06.2011 | | Autor: | pyw |
ok, danke!
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