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| Aufgabe | | [mm] xy'+y^2=1 [/mm] y(1)=0 |
Hallo
Hab erstmal die homogene Gleichung [mm] xy'+y^2=0 [/mm] gelöst:
TdV liefert:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^2}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] -1\bruch{1}{y}=-ln(x)+C
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{ln(x)+C}
[/mm]
So dann für die inhomogene von x abhängig gemacht_
[mm] y=\bruch{1}{ln(x)+C(x)}=(ln(x)+C(x))^{-1}
[/mm]
[mm] y'=-(ln(x)-C(x))^{-2}*(\bruch{1}{x}-C'(x))
[/mm]
Wenn ich dann y' einsetze gibts:
[mm] \bruch{1-y^2}{x}=-(ln(x)-C(x))^{-2}*(\bruch{1}{x}-C'(x))
[/mm]
Und dann komm ich nicht weiter: is vorher schon irgenwo ein Fehler oder wie kome ich weiter??
Gruß
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Hallo,
diese Aufgabe kann man m.A. nach nicht mittels Variation der Konstanten lösen. Versuche doch mal, die allgemeine DGL direkt mittels TdV zu lösen...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Mo 04.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine Methode funktioniert nicht, denn die DGL ist nicht linear !!!
FRED
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Was brauche ich denn dann dafür??
IWir hatten nut TDV und Variation der Konstanten besprochen
Gibt es andere Mathoden dafür oder wie komme ich weiter?
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Hallo,
TdV kannst du immer anwenden, wenn sich die Variablen trennen lassen. Und das ist hier definitiv möglich:
[mm] x*y'+y^2=1 [/mm] <=>
[mm] x*\bruch{dy}{dx}=1-y^2 [/mm] <=>
[mm] \bruch{dy}{1-y^2}=-\bruch{dx}{x}
[/mm]
usw.
Gruß, Diophant
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Um die Aufgbe nochmal aufzugeifen:
Hab nach TdV aus den integralen folgende Stammfunktionen gefunden:
[mm] \bruch{1}{2}(ln(y-1)+ln(y+1))=ln(x)+C
[/mm]
[mm] e^{ln(y-1)+ln(y+1)}=e^{2ln(x)+2C}
[/mm]
[mm] (y-1)*(y+1)=\bruch{C}{x^2}
[/mm]
[mm] y^2-1=\bruch{C}{x^2}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{\bruch{C}{x^2}+1}
[/mm]
Nur passt da iwas nicht und ich kann den Fehler nicht finden
Gruß
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Hallo mathefreak,
> Um die Aufgbe nochmal aufzugeifen:
>
> Hab nach TdV aus den integralen folgende Stammfunktionen
> gefunden:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(ln(y-1)+ln(y+1))=ln(x)+C[/mm]
Hmmm. Mit [mm]\frac{1}{1-y^2}=\frac{1}{x}[/mm], also [mm]\frac{1}{y^2-1}=-\frac{1}{x}[/mm] und der PBZ: [mm]\frac{1}{y^2-1}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{1}{y-1}\red{-}\frac{1}{y+1}\right][/mm] komme ich auf:
[mm]\ln(y-1)-\ln(y+1)=-\ln(x)+C[/mm]
Also [mm]\ln\left(\frac{y-1}{y+1}\right)=-2(\ln(x)+C)[/mm]
Und damit auf [mm]\frac{y-1}{y+1}=\frac{C_1}{x^2}[/mm]
Nach [mm]y[/mm] aufgelöst: [mm]y=\frac{x^2+C_1}{x^2-C_1}[/mm]
Die AB ist erfüllt für [mm]C_1=...[/mm]
Dann mache die Probe und es passt ...
>
> [mm]e^{ln(y-1)+ln(y+1)}=e^{2ln(x)+2C}[/mm]
>
> [mm](y-1)*(y+1)=\bruch{C}{x^2}[/mm]
Wie kommt das [mm]x^2[/mm] in den Nenner, oben steht eine positive Potenz ...
Der Vorzeichenfehler in der PBZ macht dir die linke Seite kaputt, richtig: [mm]\frac{y-1}{y+1}=...[/mm]
>
> [mm]y^2-1=\bruch{C}{x^2}[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{\bruch{C}{x^2}+1}[/mm]
>
> Nur passt da iwas nicht und ich kann den Fehler nicht
> finden
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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