AWP 1.Ordnung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 13.11.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | x [mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] (x,y,z) + y [mm] \frac{\partial u}{\partial y} [/mm] (x,y,z) + [mm] \frac{\partial u}{\partial z} [/mm] (x,y,z) = u (x,y,z)
u(x,y,0)=xy |
Hallo.
Die Aufgabe ist, alle Lösungen u der obigen DGL explizit anzugeben.
Ich habe den theoretischen Hintergrund dazu noch nicht so ganz verstanden...
Es ist ja so, dass man die DGL in folgender Form schreiben kann:
(x,y,1) [mm] \nabla [/mm] u(x,y,z) = u(x,y,z)
wobei man (x,y,1) als Funktion a(x,y,z)=(x,y,1) auffassen kann. Jetzt ist es irgendwie so, dass irgendwelche Kurven dieses a als Geschwindigkeitsfeld haben (wobei ich auch nicht wirklich weiß, was hier ein Geschwindigkeitsfeld ist).
Diese Kurven lösen nun angeblich die DGL a(x,y,z)=(x,y,z)'=(x,y,1).
Das kann ich lösen. Die Lösung wäre dann:
[mm] x(t)=c_1 [/mm] exp(x(t))
[mm] y(t)=c_2 [/mm] exp(y(t))
[mm] z(t)=t+c_3
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter? Irgendwie muss ich jetzt x,y,z miteinander verkoppeln und dann muss das konstant sein. Die Lösungen kann man dann durch eine beliebige Funktion angeben, die nur in der Art und Weise der Argumente eingeschränkt wird. Wie man sehen kann, sind meine Ansätze noch sehr im Dunkeln und verschwommen.
Kann mir jemand meine Lücken erklären und mir weiterhelfen, was ich machen muss und wie die Zusammenhänge sind?
Darüber würde ich mich sehr freuen und wäre sehr dankbar.
lg moerni
|
|
| |
|
Hallo moerni,
> x [mm]\frac{\partial u}{\partial x}[/mm] (x,y,z) + y [mm]\frac{\partial u}{\partial y}[/mm]
> (x,y,z) + [mm]\frac{\partial u}{\partial z}[/mm] (x,y,z) = u
> (x,y,z)
>
> u(x,y,0)=xy
> Hallo.
>
> Die Aufgabe ist, alle Lösungen u der obigen DGL explizit
> anzugeben.
>
> Ich habe den theoretischen Hintergrund dazu noch nicht so
> ganz verstanden...
> Es ist ja so, dass man die DGL in folgender Form schreiben
> kann:
>
> (x,y,1) [mm]\nabla[/mm] u(x,y,z) = u(x,y,z)
>
> wobei man (x,y,1) als Funktion a(x,y,z)=(x,y,1) auffassen
> kann. Jetzt ist es irgendwie so, dass irgendwelche Kurven
> dieses a als Geschwindigkeitsfeld haben (wobei ich auch
> nicht wirklich weiß, was hier ein Geschwindigkeitsfeld
> ist).
Unter einem Geschwindigkeitsfeld versteht man ein Feld,
das jedem Ort im Raum eine Geschwindigkeit zuordnet.
>
> Diese Kurven lösen nun angeblich die DGL
> a(x,y,z)=(x,y,z)'=(x,y,1).
> Das kann ich lösen. Die Lösung wäre dann:
> [mm]x(t)=c_1[/mm] exp(x(t))
> [mm]y(t)=c_2[/mm] exp(y(t))
Das muss doch hier so lauten:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*exp\left(t\right)[/mm]
[mm]y\left(t\right)=c_{2}*exp\left(t\right)[/mm]
> [mm]z(t)=t+c_3[/mm]
>
> Wie gehts jetzt weiter? Irgendwie muss ich jetzt x,y,z
> miteinander verkoppeln und dann muss das konstant sein. Die
Das stimmt, wenn die partielle DGL so lautet:
[mm]x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=\blue{0}[/mm]
Hier betrachtest Du aber die DGL:
[mm]x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=\blue{u}[/mm]
bzw.
[mm]x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}-\blue{u}=0[/mm]
Hier handelt es sich um eine quasilineare Gleichung.
Dazu betrachtet man das erweiterte Problem
[mm]x \frac{\partial U}{\partial x} + y \frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z}-\blue{u}\frac{\partial U}{\partial u}=0[/mm]
Mehr dazu hier: ![[]](/images/popup.gif) Charakteristikenmethode im Beispiel
> Lösungen kann man dann durch eine beliebige Funktion
> angeben, die nur in der Art und Weise der Argumente
> eingeschränkt wird. Wie man sehen kann, sind meine
> Ansätze noch sehr im Dunkeln und verschwommen.
>
> Kann mir jemand meine Lücken erklären und mir
> weiterhelfen, was ich machen muss und wie die
> Zusammenhänge sind?
>
> Darüber würde ich mich sehr freuen und wäre sehr
> dankbar.
> lg moerni
Gruss
MathePower
|
|
|
|
