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| Aufgabe | Partielle Differentialgleichungen: Anfangswertproblem der Wellengleichung
Man berechne die Lösung u(x, t) an der Stelle (3, 2) von
[mm] u_{xx} [/mm] − [mm] 4u_{tt} [/mm] = 0, t > 0 und [mm] -\infty [/mm] < x < [mm] \infty
[/mm]
mit den Anfangsbedingungen
u (x, 0) = x und [mm] u_t [/mm] (x, 0) = [mm] 3x^2. [/mm] |
Hallo,
ich hab schon mein glück versucht, dreh mich aber immer nur im kreis..
Mein ansatz war die D'Alembedsche Formel:
[mm] u(x,t)=\bruch{1}{2}[u_0(x+ct) [/mm] + [mm] u_0(x-ct)]+\integral_{x-ct}^{x+ct}{v_0(z) dz}
[/mm]
mit c=1/2
jetzt weiß ich nicht, soll ich die anfangsbedingungen einfach einsetzen mit
u (x, 0) = x= [mm] u_0(x) [/mm] und
[mm] u_t [/mm] (x, 0) = [mm] 3x^2 [/mm] = [mm] v_0(x)
[/mm]
aber wie mache ich das bei [mm] u_0(x \pm [/mm] ct)?
oder die D'Alembedsche Formel ableiten für [mm] u_t(x,0) [/mm] und für [mm] u_0(x,0) [/mm] für t=0 einsetzen?
mfg
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ich hab jetzt für [mm] u_0(x\pm [/mm] ct) einfach x [mm] \pm \bruch{1}{2}t [/mm] eingesetzt und für [mm] v_0= 3z^2
[/mm]
damit komme ich mit der d'alembert formel auf
u(x,t)= [mm] \bruch{1}{2} [x+\bruch{1}{2}t [/mm] + x - [mm] \bruch{1}{2}t]+\integral_{x-\bruch{1}{2}t}^{x-\bruch{1}{2}t}{3z^2 dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*2x [/mm] + [mm] [3\bruch{z^3}{3}]_{x-\bruch{1}{2}t}^{x-\bruch{1}{2}t}
[/mm]
= [mm] x+(x+\bruch{1}{2}t)^3 [/mm] - [mm] (x-\bruch{1}{2}t)^3
[/mm]
das wäre das ergebnis, und als probe jetzt:
[mm] u_0(x,0)= x+x^3-x^3=x
[/mm]
[mm] u_t(x,t)= 3(x+\bruch{1}{2}t)^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] 3(x-\bruch{1}{2}t)^2 [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}[(x^2+xt+1/4t^2)+(x^2-xt+1/4t^2)]=\bruch{3}{2}(2x^2+1/2t^2)
[/mm]
[mm] >>u_t(x,0)= 3x^2 [/mm]
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Hallo pandabaer,
> ich hab jetzt für [mm]u_0(x\pm[/mm] ct) einfach x [mm]\pm \bruch{1}{2}t[/mm]
> eingesetzt und für [mm]v_0= 3z^2[/mm]
>
> damit komme ich mit der d'alembert formel auf
>
> u(x,t)= [mm]\bruch{1}{2} [x+\bruch{1}{2}t[/mm] + x -
> [mm]\bruch{1}{2}t]+\integral_{x-\bruch{1}{2}t}^{x-\bruch{1}{2}t}{3z^2 dz}[/mm]
Da hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen:
[mm]u(x,t)= \bruch{1}{2} [x+\bruch{1}{2}t + x -
\bruch{1}{2}t]+\integral_{x-\bruch{1}{2}t}^{x\red{+}\bruch{1}{2}t}{3z^2 dz}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*2x[/mm] +
> [mm][3\bruch{z^3}{3}]_{x-\bruch{1}{2}t}^{x-\bruch{1}{2}t}[/mm]
Analog hier:
[mm]=\bruch{1}{2}*2x +[3\bruch{z^3}{3}]_{x-\bruch{1}{2}t}^{x\red{+}\bruch{1}{2}t}[/mm]
> = [mm]x+(x+\bruch{1}{2}t)^3[/mm] - [mm](x-\bruch{1}{2}t)^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das wäre das ergebnis, und als probe jetzt:
>
> [mm]u_0(x,0)= x+x^3-x^3=x[/mm]
>
> [mm]u_t(x,t)= 3(x+\bruch{1}{2}t)^2[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]3(x-\bruch{1}{2}t)^2[/mm] * [mm](-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3}{2}[(x^2+xt+1/4t^2)+(x^2-xt+1/4t^2)]=\bruch{3}{2}(2x^2+1/2t^2)[/mm]
>
> [mm]>>u_t(x,0)= 3x^2[/mm]
Gruss
MathePower
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